neutrales und inverses Element

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aRo Auf diesen Beitrag antworten »
neutrales und inverses Element
Hallo!

Ich weiß nicht, ob ich hier mit dem Thema richtig bin, aber ich schreibs mal hier hin, weil meine Nachhilfeschülerin dass im Zusammenhang mit Vektoren gemacht hat.

Nun, mir sagt das neutrale und das inverse Element leider auch nix, weil ich es nie hatte. In sofern kann ich ihr das leider nicht erklären.

Ich habe ein paar Kurskameraden von ihr gefragt, und die haben mir relativ wirres Zeug erzählt.
So viel habe ich behalten: man könne das neutrale Element wählen.
...ja, das wars leider auch schon im großen und ganzen unglücklich

Könnt ihr mir vielleicht verraten, was es damit auf sich hat, und in wiefern das im Zusammenhang zu Vektoren steht?

Hat irgendwas mit dem Existenzgesetz zu tun?

Ich hoffe ihr habt ne Ahnung, was das sein könnte!

Thx,
aRo
laarisha Auf diesen Beitrag antworten »

Schau doch mal im Lexikon - da steht was dazu smile
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Im Körper das (additiv) inverse Element eindeutig durch bestimmt. Das neutrale Element ist die Null: Das kannst du problemlos auf Vektoren übertragen...

Gruß, therisen
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

okay da muss ich jetzt noch etwas zugeben......

wir haben eine menge G; und definieren uns eine abbildung GxG->G, nennen wir diese *
dann gilt also
*: GxG -> G
*: (x,y) -> x*y

das gebilde (G,*) nennt man ein magma und das benötigt an und für sich keine weiteren bedingungen, als die an eine abbildung gebundene abgschlossenheit, d.h. für alle x,y aus G liegt x*y wieder in G.

nehmen wir nun noch ein assoziativgesetz (klar?) hinzu, so haben wir eine halbgruppe.

jetzt kommt das neutrale element hinzu.
existiert nämlich ein element e, so dass für alle x aus G x*e=e*x=x ist, so nennen wir e (rechts- und links-) neutrales element, dieses ist eindeutig (alles ohne beweis hier) und verwandelt unsere halbgruppe zu einem monoid.
warum das neutralelement heißt, ist eindeutig an seiner wirkungsweise ersichtlich......

nun haben wir mi e eine weitere interessante möglichkeit bekommen...
wir können zu einem x ein element y suchen, so dass y*x=e oder auch x*y=e gilt. y ist dann links- bzw rechtsinvers zu x.
gilt x*y=e=y*x, ist es also links- und rechtsinvers, so wird es allgemein als inverses bezeichnet.
existiert nun für jedes x aus G noch ein eindeutiges inverses, so ist G ein gruppe.




warum das ganze?
1) weil ich diese kleine exkursion geben wollte, ich höre ja schon auf Augenzwinkern
2) jeder vektorraum ist bezüglich der gegebenen vektoraddition eine abelsche (=kommutative) gruppe......
er braucht also ein eindeutiges neutrales und zu jedem vektor ein eindeutiges inverses......



ganz wichtig: ohne neutrales ist kein inverses definiert....

mfg jochen


edit: schreibfehler
edit2: ach ja, ich würde es (trotz vektoren) ehe für lineare algebra halten, aber wen interessiert das schon, was ich denke Augenzwinkern
swerbe Auf diesen Beitrag antworten »

was man (zusammenfassend) auch noch dazu sagen kann...

neutrale wie auch inverse (d.h. invertierbare Elemente einer Menge) exestieren in (abelschen) monoiden (dort sind jedoch nicht alle Elemente invertierbar), gruppen (Restklassengruppe), ringe (denk zb an das Distributivgesetzt) und körpern ( Q,IR,C).

Das neutrale Element wird meist (neutral Augenzwinkern ) mit e bezeichnet.
wie schon erwähnt ist z.b. e=0 in einer additiven Gruppe, oder auch im reellen vektorraum, denn es gilt ja:
v1:=(1,2,3,4), v2:=(0,0,0,0)
-> v1 + v2 = v1
->komponentenweise vektoraddition!

bei einer z.b. multiplikativ geschriebenen gruppe ist e=1
auch hier gilt am beispiel von vektoren:
v1 wie oben, v2:=(1,1,1,1)
-> v1 * v2 = v1 mit v1,v2 € IR

für inverse elementenoperationenen muss dann gerade gelten:

a*(a°)=e (* ist irgendeine Verknüpfung und a° das inverse zu a)

Die Verknüpfung bei Elementen mit ihren inversen ist IMMER kommutativ, also auch in gruppen, die z.b. nicht abelsch sind!

gruß swerbe
Denjell Auf diesen Beitrag antworten »

ist das nicht n bissl viel unimathe für nen nachhilfe unterricht?

Wenn man mit dem neutralen Element rechnet dann ändert sich der Ausgangswert nicht.

Bei der Addition ist dies die 0, denn a+0=a
Bei der Multiplikation ist die die 1, denn a*1=a

Wenn man mit dem inversen Element rechnet ergibt sich das neutrale Element.

Bei der Addition ist das -a, denn a+(-a)=0(neutrale Element)
Bei der Multiplikation ist das 1/a, denn a*1/a=1(neutrale Element, a darf nicht 0 sein)

MfG
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