Abstandberechnung: Punkt-Gerade im R3

04.03.2005, 20:44

#jaedle

Abstandberechnung: Punkt-Gerade im R3

Hallo, ich schreibe in Mathe gerade meine Facharbeit und habe folgendes Problwem:

Ich möchte eine Formel herleiten, wie man den Abstand einer Gerade zu einem Punkt herleitet mit Hilfe eines Lotfußpunktes. Ich komme jedoch an einer Stelle nicht weiter.

Kurz die Herleitung:
Gegeben ist eine Gerade g durch den Stützvektor zum Punkt A und einem Richtungsvektor u sowie ein Punkt P, der nicht auf der Geraden liegt:

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \vec{a} + \lambda \vec{u} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P \not\in g \end{eqnarray*}$

Zunächst bilden wir eine Normalebene N zur Gerade in der Normalenform (der Richtungsvektor u ist logischerweise senkrecht zu N):

$\begin{eqnarray*} N: \vec{u} \cdot (\vec{x} - \vec{p}) = 0 \end{eqnarray*}$

Da der Ortsvektor zu unserem Lotfußpunkt L in der Ebene sowie auf der Geraden liegen muss (Schnittpunkt), gilt hier:

$\begin{eqnarray*} \vec{u} \cdot ( \vec{a} + \lambda \vec{u} - \vec{p}) = 0 \end{eqnarray*}$

und nach auflösen:

$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{(\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{u} }{|\vec{u}|^2} \end{eqnarray*}$

Nach einsetzen in die Geradengleichung kommen wir auf:

$\begin{eqnarray*} \vec{l} = \vec{a} + ((\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{u}_0) \cdot \vec{u}_0 \end{eqnarray*}$

Da der Betrag unseres Lotvektors von P nach L ist, können wir folgendes daraus folgern:

$\begin{eqnarray*} d(g, P) = \overline{gP} = \overline{PL} = | \overrightarrow{PL} | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PL} = \overrightarrow{PA} - \overrightarrow{AL} = (\vec{p} - \vec{a}) - (\vec{l}-\vec{a}) = (\vec{p} - \vec{a}) - ((\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{u}_0) \cdot \vec{u}_0 \end{eqnarray*}$

Somit könnte man so den Abstand berechnen:
$\begin{eqnarray*} d = | (\vec{p} - \vec{a}) - ((\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{u}_0) \cdot \vec{u}_0 | \end{eqnarray*}$

Wie man sieht sehr umständlich formuliert. Die fertige Formel lautet ja bekanntlicherweise:

$\begin{eqnarray*} d = | (\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{u}_0 | \end{eqnarray*}$

Wie komme ich von dem letzten Ausdruck auf diesen?!

Danke schonmal, dass ihr euch damit beschäftigt. Wenn noch Fragen zur Rechnung sind (ist nur grob formuliert), einfach melden smile

06.03.2005, 10:39

Egal

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Ich glaube das hier eine Reihe Fehler vor liegen. Zunächst einmal würde ich nicht die Normalenebene durch P bestimmen sondern zum Punkt A. Und dann den Abstand des Punktes P von der Ebene.

Abgesehen davon scheint mir die Rechnung auch fehlerhaft zu sein. Dies lässt sich schon leicht daran erkennen das die Rechnung $\begin{eqnarray*} (\vec{p}-\vec{a})\cdot\vec{u_0})\cdot\vec{u_0} \end{eqnarray*}$ so nicht sein kann sondern bestenfalls ohne die letzte Skalarmultiplikation da das Ergebnis des vorhergegangenen ja bereits ein Skalar ist.
Auch die Angegebene Identität $\begin{eqnarray*} \vec{PL}=\vec{PA}-\vec{AL} \end{eqnarray*}$ ist so nicht richtig. Richtigerweise müsste es wohl + heissen. Schlußendlich halte ich eine Umformung der mit hoher Wahrscheinlichkeit falschen vorletzten Formel in die letzte für unmöglich.

06.03.2005, 18:53

#jaedle

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Zitat:

Original von Egal
Ich glaube das hier eine Reihe Fehler vor liegen. Zunächst einmal würde ich nicht die Normalenebene durch P bestimmen sondern zum Punkt A. Und dann den Abstand des Punktes P von der Ebene.

Ich hab es andersrum gemacht, was auch völlig plausibel ist (Ansatz ist aus einem Hochschul Mathematik-Werk)

Zitat:

Abgesehen davon scheint mir die Rechnung auch fehlerhaft zu sein. Dies lässt sich schon leicht daran erkennen das die Rechnung $\begin{eqnarray*} (\vec{p}-\vec{a})\cdot\vec{u_0})\cdot\vec{u_0} \end{eqnarray*}$ so nicht sein kann sondern bestenfalls ohne die letzte Skalarmultiplikation da das Ergebnis des vorhergegangenen ja bereits ein Skalar ist.

Korrekt, ein Rechenzeichen zu viel smile

Zitat:

Auch die Angegebene Identität $\begin{eqnarray*} \vec{PL}=\vec{PA}-\vec{AL} \end{eqnarray*}$ ist so nicht richtig. Richtigerweise müsste es wohl + heissen. Schlußendlich halte ich eine Umformung der mit hoher Wahrscheinlichkeit falschen vorletzten Formel in die letzte für unmöglich.

Schau dir die Zeichnung an. Allein aus der Logik wird klar:

Dreieck APL:
Vektor der Hyptoneuse (PA) minus Vektor der Kathete (AL)= Vektor der anderen Kathete (PL) [hoffe die Orientierungen stimmen]

Danke erstmal für deine Mühe smile

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