Restklassen

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The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »
Restklassen
Hallo.
Ich habe die Suchfunktion schon benutzt, aber bin bein den Restklassen hängengeblieben momentan.

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Sei (G, * ) eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Durch ,
d.h. , wird eine Äquivalenzrelation in G definiert. Die Äquiv.klassen sind die Mengen und heißen Rechtsnebenklassen von U.

analog definiert: eine Ä.relation mit den Linksnebenklassen von U als Äquiv.klassen.

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- Wie kommt man bei auf den Schritt Ux = Uy ?

- Ist bei restklassen Ua und aU immer in U enthalten oder können die "daraus führen" ?
- Sind x und r € G oder können diese auch Elemente von U sein ?
Ich habe es bisher denke ich nicht richtig verstanden, obwohl ich mir das schon mehrmals durchgelesen habe.

Danke schonmal.

ps: hier habe ich geschaut.
http://www.matheboard.de/thread.php?thre...ht=nebenklassen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Beachte, daß gilt. Daher ist sowohl als auch , und zwar wegen der Untergruppeneigenschaft von . Somit gilt für :




Und warum ist ?

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten - anders gesagt: wenn jede Teilmenge der andern ist.

1.
Betrachten wir ein beliebiges Element aus . Es kann als (mit einem ) geschrieben werden. Wegen der Abgeschlossenheit von bezüglich der Gruppenoperationen (Untergruppeneigenschaft) gilt: .
Somit ist gezeigt:

2.
Jetzt nehmen wir umgekehrt ein beliebiges Element . Die Frage ist: Kann es in der Form mit einem geschrieben werden? Die Antwort ist: Ja, man nehme einfach ; denn dieses liegt ja wegen der Untergruppeneigenschaft wieder in .
Somit ist gezeigt:

Mit 1. und 2. folgt insgesamt:

Vielleicht googelst du einmal unter dem Begriff Komplexmultiplikation.
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Beim Beweis, dass Uu = U ist ist jetzt einleuchtend,

Können x und y Elemente von G sein ? Somit wäre dasselbe gilt auch für xU .

Oben wäre das


Zum Kompexprodukt. Ich weiss was es ist, bin nicht sicher ob ichs schon richtig verstanden habe, aber das brauche ich für die Nebenklassen wohl nicht, denn das Komplexprodukt wird erst auf der nächsten Seite eingeführt.

Danke.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von The_Lion
Können x und y Elemente von G sein ? Somit wäre dasselbe gilt auch für xU .


Die Relation zwischen Mengen macht keinen Sinn.

Ja, können beliebige Elemente von sein. Und wenn sie nicht in liegen, dann gilt sogar . Denn die verschiedenen Restklassen von bilden eine Zerlegung von .
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke.

ist Uu (uU) die triviale Rechts- bzw Linksnebenklasse ?
Spooner Auf diesen Beitrag antworten »

Der Begriff "Restklasse" wird doch im Allgemeinen nur für die speziellen Nebenklassen gebraucht, oder?
 
 
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »


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Beim Beweis vom Satz von Lagrange:

Sei A ein Repräsentantensystem für die Rechtsnebenklassen von U; dann ist

, d.h.
|G| = |U| [G:U] wegen |A| = [G:U] und |U| = |Ua|.


Wieso ist G die disjunkte Vereinigung der Ua ?
Also,

Wie kann das gelten? Bei den Rechtsnebenklassen (oder Links-) werden die Elemente von G, also der Obergruppe doch nur jeweils mit allen Elementen der Untergruppe U verknüpft, aber nicht untereinander. Wie kann dann wie die Obergruppe dabei rauskommen ?

Muss man hier nicht vielmehr die Vereinigung der Rechts- und Linksnebenklassen nehmen, damit dabei wieder die Obergrupee rauskommt, denn schließlich muss die Gruppe ja nicht kommutativ sein .
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss, man soll hier nicht nach oben pushen den Thread, aber ich mach es mal, da keiner antwortet.
Danke.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Am besten machst du dir das einmal an einem Beispiel klar.
Nimm etwa die 8-elementige Quaternionengruppe . Ihre Elemente werden miteinander multipliziert.

1. Mit dem Vorzeichen wird wie üblich gerechnet.
2. ist das neutrale Element der Gruppe.
3. Es gilt
4. Ferner gilt zyklisch: .
5. Die Gruppe ist nicht kommutativ, sondern es gilt: .

Diese fünf Regeln legen das Rechnen vollständig fest. (Daß die Gruppenaxiome erfüllt sind, überprüfst du am besten an Hand einer 8×8-Gruppentafel, die du nach den obigen Regeln erstellst. Lediglich der Nachweis des Assoziativgesetzes dürfte etwas aufwendig sein. Das kannst du ja erst einmal übergehen.)

Beispiel: Was ist ?
Nach 1. gilt:
Nach 5. gilt:
Nach 4. gilt:

Somit ist .


a) Und jetzt betrachte die Untergruppe . Bestimme alle möglichen Rechtsrestklassen. Du wirst sehen: es gibt genau 4 Stück. Alle haben die Ordnung 2 (das ist die Ordnung von ). Und zusammen enthalten sie gerade alle Elemente von .

b) Betrachte dann die Untergruppe . Bestimme auch hier alle möglichen Rechtsrestklassen. Du wirst sehen: es gibt genau 2 Stück. Alle haben die Ordnung 4 (das ist die Ordnung von ). Und zusammen enthalten sie gerade alle Elemente von .
laptatidellatundel Auf diesen Beitrag antworten »

1.: jedes x aus G ist in seiner eigenen rechtsnebenklasse enthalten (denn das neutrale element e ist ja in U, also x=e*x Ux.
2: deshalb kommt bei der vereinigung über alle Ux ganz G raus (kannst ja sozusagen erstmal statt über ein repräsentantensystem zu vereinigen über ganz G vereinigen, und alles was du doppelt hattest schmeisst du hinterher wieder raus, was übrigbleibt ist gerade die vereinigung über ein repräsentantensystem)
3.: die vereinigung ist disjunkt, denn gäbe es 2 restklassen Ux und Uy, in deren schnitt z liegt, so würde gelten z=ux=u'y für bestimmte u, u'. also x=u^(-1)u'y, also xUy und damit Ux=Uy.
Steffi2 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
ich habe mir mal die Beispielaufgaben von Leopold angeschaut und dazu noch eine kleine Frage:

Mal zu a) Also ich habe mir das als Tabelle vorgestellt. Wie wäre denn die Schreibeweise für diese Restklassen (die man dann quasi als Spaltenüberschriften einsetzen würde). Also z.B. ist ja die Restklasse zu i das selbe wie zu (-i) - also {i, -i}. Würde die jetzt Ui nennen oder U(-i) oder ...?

Ich hoffe ich sehe das nicht irgendwie total falsch Augenzwinkern

Schönen Gruß,

Steffi
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