Beweis zur glm. Stetigkeit

Neue Frage »

05.03.2005, 14:03	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zur glm. Stetigkeit Hallo Ich habe mal versucht folgenden Satz zu beweisen. Sei J Teilmenge IR ein kompaktes Intervall und f: J->IR stetig.Dann ist f auch gleichmäßig stetig. Also per Widerpsruchsbeweis: f ist nicht glm stetig. Es existiert also ein $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(y)\geq\varepsilon \end{eqnarray}$ ist für x,y€J. Dass Intervall ist wegen der Kompaktheit also abgeschlossen und beschränkt.Das heißt es gibt eine Folge $\begin{eqnarray} (a_n)->a \in J \end{eqnarray}$ Da f stetig ist, folgt, dass auch $\begin{eqnarray} f(a_n)->f(a) \end{eqnarray}$ . Also wird $\begin{eqnarray} \|f(a_n)- f(a)\| \end{eqnarray}$ immer kleiner. So und jetzt der Teil wo ich etwas unsicher bin,ob das schon reicht. Setzen wir $\begin{eqnarray} x=a_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=a \end{eqnarray}$ , so muss ein Widerspruch folgen. So meine Frage.Die glm Stetigkeit besagt ja,dass die Funktionswerte kleiner als epsilon sein müssen.Ich habe angenommen,dass sie größer als epsilon sind.Da die Funktionswerte nun aber immer kleiner werden (s.o),folgt daraus,dass die Vorschrift $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(y)\|\leq\varepsilon \end{eqnarray}$ bereits erfüllt ist?
05.03.2005, 16:25	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist alles etwas logisch wirr, was du da geschrieben hast. Um erstmal Ordnung reinzubringen: Gleichmäßige Stetigkeit heißt für deine Funktion, dass für jedes $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ existieren muss, so dass $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(y)\|<\varepsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x,y\in J \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x-y\|<\delta \end{eqnarray}$ gilt. Und wenn du das indirekt beweisen willst, solltest du das erstmal negieren, d.h.: f ist nicht gleichmäßig stetig, wenn es ein $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ gibt, so dass es für alle $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ Werte $\begin{eqnarray} x_0,y_0\in J,\;\|x_0-y_0\|<\delta \end{eqnarray}$ gibt, für die $\begin{eqnarray} \|f(x_0)-f(y_0)\|\geq\varepsilon \end{eqnarray}$ gilt.
05.03.2005, 16:31	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
ja,stimmt.Also die Definition der glm. Stetigkeit ist mir natürlich bewusst.Meinst du jetzt,dass ich die Annahme ausführlicher darstellen sollte oder das der Beweis (ok,sagen wir der Hauptteil) falsch ist?
05.03.2005, 16:40	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie du es geschrieben hast, ist der Hauptteil falsch - wie soll die Existenz dieser Folge (a_n) mit den von dir genannten Eigenschaften aus der Nicht-Gleichmäßig-Stetigkeit folgen??? Also ich sehe zunächst nur die Existenz zweier Folgen $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (y_n) \end{eqnarray}$ aus J mit $\begin{eqnarray} \|x_n-y_n\|\to 0 \end{eqnarray}$ (von mir aus monoton gegen Null) und $\begin{eqnarray} \|f(x_n)-f(y_n)\|\geq\varepsilon \end{eqnarray}$ für alle n.
05.03.2005, 16:48	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
bin jetzt etwas verwirrt.Ab wo,müsste ich ich jetzt genau nochmals nachschauen? "Setzen wir x=a_n und y=a , so muss ein Widerspruch folgen" Ich denke ab dem Teil oder?
05.03.2005, 17:30	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, du sprichst von einer konvergenten Folge (a_n) aus J, hast aber in keinster Weise gezeigt, dass für diese Folge tatsächlich $\begin{eqnarray} \|f(a_n)-f(a)\|\geq\varepsilon \end{eqnarray}$ für alle n gilt!
Anzeige

05.03.2005, 17:51	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
und da liegt mein Problem.Wie kann ich am besten mit dieser Ungleichung verfahren?Irgendwelche Tipps?
05.03.2005, 17:54	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wart erstmal ab, was Leopold gleich von sich gibt: EDIT: Entschuldigung, falscher Alarm. Also wenn schon Widerspruchsbeweis, dann etwa so: Gehen wir von den von mir oben genannten Folgen $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (y_n) \end{eqnarray}$ aus. Dann gibt es wegen der Kompaktheit von J eine konvergente Teilfolge von $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ , d.h., eine Indexfolge $\begin{eqnarray} (n_k)_{k=1,2,\ldots} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim\limits_{k\to\infty}x_{n_k}=:a\in J \end{eqnarray}$ Und wenn du jetzt $\begin{eqnarray} a_k:=x_{n_k} \end{eqnarray}$ setzt, dann ist dein Beweis fast gerettet.
05.03.2005, 18:26	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
hm,das mit der Teilfolge hab ich so weit verstanden aber wo soll ich a_k:=a_nk setzen?
05.03.2005, 18:35	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, vergiss das mit den (a_k) - ich wollte halt nur eine Brücke zu deinem Beweisversuch knüpfen. Aber ich bringe es jetzt mal ohne das zu Ende: Unter Benutzung der Dreiecksungleichung folgt $\begin{eqnarray} \|y_{n_k}-a\|\leq \|y_{n_k}-x_{n_k}\|+\|x_{n_k}-a\| \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k\to\infty \end{eqnarray}$ . Also konvergiert auch die Teilfolge $\begin{eqnarray} \left(y_{n_k}\right)_{k=1,2,\ldots} \end{eqnarray}$ gegen a. Wegen der Stetigkeit von f muss dann aber auch $\begin{eqnarray} \left(f\left(x_{n_k}\right)-f\left(y_{n_k}\right)\right)_{k=1,2,\ldots} \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} f(a)-f(a)=0 \end{eqnarray}$ konvergieren, das steht aber im Widerspruch zu $\begin{eqnarray} \left\|f\left(x_n\right)-f\left(y_n\right)\right\|\geq\varepsilon \end{eqnarray}$ für alle n.

Neue Frage »

Antworten »

Beweis zur glm. Stetigkeit

Verwandte Themen