ableitung von einer schar

05.03.2005, 18:18

fescue

ableitung von einer schar

servus,
ich will den extrempunkt ausrechnen.
$\begin{eqnarray*} f_a(x)= \frac{1}{a} (x-a) \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'_a(x) = \frac{1}{a} (x-a) \sqrt{x} + \frac{1}{a} (x-a) \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{a} (x-a) (\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}) \end{eqnarray*}$

daraus erkenn ich dass ein extrempunkt bei x=a ist.
stimmt meine rechnung?

05.03.2005, 18:25

etzwane

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mit a=5:

Du solltest die Ableitung nochmals nachrechnen: (uv)'=u'v+uv'

05.03.2005, 18:27

fescue

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hm, mit a=5 ist doch die nullstelle bei x=5.
dann passt es doch.

frage ist nur, ob die ableitung stimmt..

ich dachte ich hätte das so abgeleitet wie du beschrieben hast.

kann auch net sein, man ich steh echt auffem schlauch

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

05.03.2005, 18:28

etzwane

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die Nullstelle schon, aber du willst doch die Lage des Extrempunktes ausrechnen, also f'a(x)=0.

05.03.2005, 18:35

fescue

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$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{a} * \sqrt{x} + -\frac{1}{2a} * (x-a) * \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$
wie weiter?

edit:
beide seiten *a und * wurzel x
--> x - 1/2 (x-a)
x=-a ?

05.03.2005, 19:00

iammrvip

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Das erinnert mich stark an das Abi vom letzen Jahre in Sachsen (Funktion dort $\begin{eqnarray*} f_t(x) = \frac{1}{t}(x - 2t)\sqrt x \end{eqnarray*}$ Big Laugh

)

Ich würde erstmal Klammern teilweise auflösen:

$\begin{eqnarray*} f_a(x)= \frac{1}{a}\left(\sqrt{x^3} - a\sqrt x\right) \end{eqnarray*}$

05.03.2005, 19:08

fescue

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wie kommst du denn nun dadrauf?

egal,habs nun:
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{a} * \sqrt{x} + \frac{1}{2a} * (x-a) * \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$
*a * wurzel x
--> 3x=a , x=1/3a

05.03.2005, 19:09

etzwane

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[quote]Original von fescue
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{a} * \sqrt{x} + -\frac{1}{2a} * (x-a) * \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

da ist ein Kommafehler vor dem 2. Bruch, nimm besser:

$\begin{eqnarray*} f'_a(x) = \frac{1}{a}\sqrt{x} + \frac{1}{2a} (x-a) \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \end{eqnarray*}$

05.03.2005, 19:12

fescue

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jo, thx.
in meinem ersten post hatte ich das minus noch nicht, keine ahnung woher das nun kam.. grml.

thx an alle

05.03.2005, 19:17

iammrvip

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Zitat:

Original von fescue
wie kommst du denn nun dadrauf?

Ich hab einfach die Wurzel mit in die Klammern genommen ("Re-ausgeklammert").

Dabei ist $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ und die Wurzel kann man "zusammenziehen".

$\begin{eqnarray*} f_a(x) &= \frac{1}{a} (x-a) \sqrt x \\ &= \frac{1}{a} \left(x\sqrt x- a\sqrt x\right) \\ &= \frac{1}{a} \left(\sqrt{x^2}\sqrt x- a\sqrt x\right) \\ &= \frac{1}{a} \left(\sqrt{x^3} - a\sqrt x\right) \end{eqnarray*}$

Das kann man aber auch im Kopf machen Augenzwinkern

. Damit lässt sich die Ableitung viel leichter bilden.

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