Differentialgleichung - Variation der Konstanten

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05.03.2005, 19:23	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung - Variation der Konstanten Hallo, also ich stehe heute total auf der Leitung. Wir besprechen gerade inhomogene DGL und das Lösungsverfahren mittels Variation der Konstanten. Soweit, sogut - die DGL lautet folgendermaßen: $\begin{eqnarray} (2x+3)y^{'}+y=x \end{eqnarray}$ Der Ansatz bei der Variation der Konstanten ist: $\begin{eqnarray} y=\frac{D_{(x)}}{\sqrt{2x+3}} \end{eqnarray}$ mit dem Ergebnis: $\begin{eqnarray} D_{(x)}=\sqrt{2x+3}\left( \frac{2x+3}{6}-\frac{3}{2}\right)+C_2 \end{eqnarray}$ Soweit ist das korrekt und auch kein Problem. Nun funktioniert das nach Lagrange ja in drei Schritten - unser Lehrer meinte aber, das ginge auch mit zwei Schritten, nämlich indem man die Funktion der Konstanten in den Ansatz der Variation der Konstanten einsetzen würde. Nun hat das bisher auch immer funktioniert, hier aber nicht. Meine (allgemeine) Lösung würde lauten: $\begin{eqnarray} y=\frac{x}{3} - \frac{7}{6} + \frac{C}{\sqrt{2x-3}} \end{eqnarray}$ Lt. Angabe soll aber das rauskommen: $\begin{eqnarray} y=\frac{x}{3} - 1 + \frac{C}{\sqrt{2x-3}} \end{eqnarray}$ Ich hätte also zwei Fragen: - Warum steht überhaupt eine Konstante (die -1 in der Lösung aus der Angabe) in der allgemeinen Lösung? - Funktioniert das 2-Schritte-Verfahren nicht/manchmal/immer? Dankeschön
05.03.2005, 19:46	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
man kann leider nicht erkennen, wo du dich verrechnet hast, für die partikuläre Lösung habe ich jedenfalls auf andere Weise mit dem Ansatz $\begin{eqnarray} y_p=ax^2+bx+c \end{eqnarray}$ erhalten: $\begin{eqnarray} y_p=\frac{x}{3}-1 \end{eqnarray}$ .
05.03.2005, 19:49	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
@etzwane Das bringt nur nich viel, wenn sie Variation der Konstanten benutzen sollen @Gast Was hast du denn für Ableitungen?? Du sagst: $\begin{eqnarray} y = \frac{D(x)}{\sqrt{2x + 3}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y' = ... \end{eqnarray}$
05.03.2005, 20:05	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Mea maxima culpa!!! Tut mir leid - ich habe 3/6 durch 1/3 ersetzt... so kann man sich den Abend auch um die Ohren schlagen Trotzdem vielen Dank für die Antworten! Ich werd erstmal eine Pause machen...
05.03.2005, 20:10	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
passiert .
06.03.2005, 22:19	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Da bin ich nochmal ... Könnte mal jemand ein paar Worte zu etzwane's Methode verlieren? Also welche Möglichkeiten neben der Variation der Konstanten gibt es denn noch um derartige DGL zu lösen? Wäre einfach nur interessehalber - sollte das in Schreibarbeit ausarten wäre mir auch mit einem Link gedient
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07.03.2005, 18:59	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung - Variation der Konstanten Ganz einfach, die inhomogene DGL lautet doch: $\begin{eqnarray} (2x+3)y'+y=x \end{eqnarray*}$ Jetzt scharf hingesehen: Wenn y ein Polynom mit ax^n ist, dann ist die Ableitung ein Polynom mit bx^(n-1), und das multipliziert mit (mx+n) ergibt wieder ein Polynom mit cx^n. Jetzt ist nur die Frage, welches ist das kleinstmögliche n für solch ein Polynom. Ich hatte es mit n=2 versucht, n=1 hätte aber ausgereicht. Der Ansatz funktioniert aber wirklich nur für so einfache lineare DGL wie hier. EDIT: 1. zeile verbessert zu dem, was ich eigentlich gemeint hatte
08.03.2005, 20:42	aske	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahja ... und dann einfach in die inhomogene DGL einsetzen und per Koeffizientenvergleich ... also: $\begin{eqnarray} y_p&=ax+b\\(2x+3)a+ax+b&=x\\\Rightarrow a&=\frac{1}{3}\\\Rightarrow b&=-1 \end{eqnarray}$ Nett . Und woher weißt du, daß $\begin{eqnarray} y_p \end{eqnarray}$ ein Polynom ist? Könnte doch z.B. auch mal was trigonometrisches werden... Kann man das an der Störfunktion ablesen?
08.03.2005, 20:58	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast ja keine komplexen Lösungen, sieht man ja . Das ist vor allem Erfahrungs- und Übungssache. Ich mein, man sieht ja, dass da keine Trigo-Funktionen herauskommen können.
08.03.2005, 21:21	aske	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war jetzt nicht auf speziell diese DGL bezogen. Ich meine nur auf einer Seite mal eine Tabelle gesehen zu haben, in der abhängig von der Störfunktion die Art des mgl. Ansatzes aufgelistet war. Kann mich aber auch täuschen ...
08.03.2005, 21:22	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß jetzt was du meinst. Ich habe ein solche Tabelle auch, aber es wäre etwas viel, das jetzt alles hier reinzuschreiben. Ich mach das sowieso meistens nach Gefühl. Du kannst ja noch mal im Netz gucken, ob du eine solche Tab. findest. /edit: click me /edit2: Hier z.B würde ich nach Gefühl den gleichen Ansatz wählen guckst du
08.03.2005, 21:26	aske	Auf diesen Beitrag antworten »
Die gleiche Seite habe ich auch eben gefunden
24.11.2005, 11:28	gast1	Auf diesen Beitrag antworten »
es geht auch einfacher. Du kannst die DGL in den LAplace Bereich transformieren, dort eine Partialbruchzerlegung vollziehen und Rücktranformation.

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