Funktion eines Betrages - mögliche x berechnen

06.03.2005, 01:04	SkYfiGhTeR	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion eines Betrages - mögliche x berechnen Hallo, und zwar geht es um Folgendes: "Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\mid 3x-1 \mid \end{eqnarray}$ Berechnen Sie alle x, für die $\begin{eqnarray} f( f(x) ) = x \end{eqnarray}$ gilt." Einen Ansatz bzw. eher eine Überlegung habe ich schon gemacht, aber was so richtig (weiter) zu tun ist, weiß ich gar nicht. Wäre super wenn mir das jemand etwas erläutern könnte wie bei so einer Aufgabe am besten vorzugehen ist und auch mit den Beträgen zu rechnen ist. g $\begin{eqnarray} f(x)=a=\mid 3x-1 \mid \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(f(x))=f(a)=\mid 3a-1 \mid=\mid 3 \mid 3x-1 \mid -1 \mid \end{eqnarray}$ Hm, naja wie gesagt, weiß nicht wirklich (die weitere) Vorgehensweise bei dieser Aufgabe und wie ich zur Lösung bzw. den Lösungen für x komme. Vielen Dank für Hilfe im Voraus!
06.03.2005, 08:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Vorgehen: - Beträge von innen nach außen durch Fallunterscheidung auflösen - das Ganze an einem Baum strukturiert darstellen Prinzipiell gilt: $\begin{eqnarray} \|ax+b\| \end{eqnarray}$ wird bei positivem (!) $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ folgendermaßen aufgelöst: $\begin{eqnarray} x < -\frac{b}{a}: \ \ \|ax+b\| = -ax-b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \geq -\frac{b}{a}: \ \ \|ax+b\| = ax+b \end{eqnarray}$ Beachte auch die Regel: $\begin{eqnarray} \|T\| = \|-T\| \end{eqnarray}$ , z.B. $\begin{eqnarray} \|2-9x\| = \|9x-2\| \end{eqnarray}$ EDIT Im Baumdiagramm sind die Ergebnisse der letzten beiden Spalten vertauscht. Es muß zuerst y = 4-9x und dann y = 9x-4 heißen.
06.03.2005, 11:52	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ein Bild von f(f(x)) mit f(x)=\|3x-1\| sowie mit y(x)=x:
06.03.2005, 16:38	SkYfiGhTeR	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ahso ok, vielen Dank für die Erläuterung der Vorgehensweise ²Leopold, ich denke ich konnte es größtenteils nachvollziehen. g Die vier Gleichungen die du nun bei dir rausbekommen hast ²Leopold, die entsprechen ja eigentlich den vier Abschnitten dieser W-Kurve wie etzwane sie hier reingestellt hat. Und die Kurve hat nun vier Schnittpunkte der normalen y(x)=x. Also könnte ich doch jetzt jeweils die vier Gleichungen mit x gleichsetzen um die entsprechenden Schnittpunkte rauszubekommen oder? Wenn ich das aber mache, kommen andere Werte raus, als ich sie (ungefähr) aus der Zeichnung hier ablesen kann. Denn ich benötige ja jetzt alle x-Werte für die das gilt, wie in der Aufgabe beschrieben.
06.03.2005, 17:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann untersuche doch zunächst, ob es ein $\begin{eqnarray} x<\frac{2}{9} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (f \circ f)(x) = x \end{eqnarray}$ gibt. Für dieses müßte also gelten: $\begin{eqnarray} 2-9x = x \ \ \Leftrightarrow \ \ 10x=2 \ \ \Leftrightarrow \ \ x = \frac{1}{5} = 0,\!2 \end{eqnarray}$ Jetzt muß man noch überprüfen, ob die scheinbare Lösung $\begin{eqnarray} x = 0,\!2 \end{eqnarray}$ auch im vorgegebenen Bereich liegt. Das ist aber der Fall, da $\begin{eqnarray} \frac{1}{5} = 0,\!2 < 0,\!\bar{2} = \frac{2}{9} \end{eqnarray}$ . Damit befindet sich bei $\begin{eqnarray} (0,\!2 \| 0,\!2) \end{eqnarray}$ der erste Schnittpunkt.
06.03.2005, 18:26	SkYfiGhTeR	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, alles klar. Ich komme jetzt auch auf alle vier Punkte. Nur sind da nicht irgendwie die beiden letzten vertauscht? Du hast zuerst die y=9x-4 und danach die y=4-9x stehen. In der Zeichnung geht aber die rote Kurve erstmal nach unten, also müsste zuerst das y=4-9x kommen und danach, wenn sie wieder ansteigt das y=9x-4 oder? Auch wenn ich dann die Punkte ausrechne, komme ich für die 9x-4=x auf 0,5. Und wenn ich dann: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}=0,5 < \frac{4}{9}=0,\!\bar{4} \end{eqnarray}$ habe, stimmt's ja nicht und genauso dann bei der 4-9x=x. g Oder sehe ich das gerade falsch? Ansonsten vielen Dank für die super Hilfe!
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06.03.2005, 19:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Die Ergebnisse der letzten beiden Spalten in meinem Baumdiagramm sind vertauscht.
06.03.2005, 19:49	SkYfiGhTeR	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, alles klar ok. Danke nochmals für die Hilfe!

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