Separationsansatz DGL

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Stephdeluxe Auf diesen Beitrag antworten »
Separationsansatz DGL
also ich hänge hier an einem teil fest traurig

die gleichung lautet mittlerweile:


irgendwie müssen sich ja die x terme rauskürzen...
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre vielleicht von Vorteil, wenn du uns die DGL gibt's.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst wahrscheinlich nach x auflösen, oder? Nach Anwendung der üblichen Additionstheoreme kriegst du jedenfalls eine quadratische Gleichung für z=cos(x).
Stephdeluxe Auf diesen Beitrag antworten »

ja, mit dem formeleditor komm ich nich so klar.
die DGL lautete ut=uxx
mit
und
der gag is doch, das sich nach dem sep.ansatz
X"(x)/X(x)=T'(t)/T(t)=const=/alpha bildet.

wenn man jetzt die ableitungen von u(x,0)=X(x)T(0) bildet und oben einsetzt,
dann entsteht die von mir genannte Gleichung.
Nur müssten sich jetzt die x-terme irgendwie "verflüchtigen" weil ja X"(x)/X(x)=const. ist

Ich weiss nur nicht wie ich da was kürzen soll...

Alternativ bin ich natürlich auch für andere Lösungswege der DGL offen.
Aber bitte "kindgerecht" erklären Augenzwinkern Hammer
Harry Done Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Stephdeluxe,

willst du nur reele Lösungen der PDG haben, wenn nicht musst du die Konstante mit wählen. Damit auch komplexe Lösungen ergibt.

Wenn du die allgemeine Lösung von u(x,t) dann ermittelt hast, bietet sich zum Lösen der ersten Konstante an.

Mit kannst du dann bestimmen.
Hierbei tritt das Problem auf, dass unendlich viele Lösungen hat.

Die Frage ist nun ob du die PDG mit einer Fourierreihe angeben sollst oder nur für den speziellen Fall in dem n bekannt ist?

Wenn du die Lösung als Reihe angeben sollst, kannst du die zweite Konstante als Fourier-Koefizient berechnen (ist ganz schöner Rechenaufwand)


Ich glaube aber, dass man in diesem Fall, wo u(x,0) auch aus trigonometrischen Thermen besteht, einfach zweimal n so wählt dass sich 3x und 2x ergeben.



Dann kommt man auf:


Ich denke so soll es aussehen

Gruß Jan
Stephdeluxe Auf diesen Beitrag antworten »

die Musterlösung sagt:

die nehmen einen ähnlichen Ansatz wie du. reelle Lsg. reicht aus.

Ich fand halt den anderen Lösungsansatz einfacher zu verstehen.

Für die allg. lsg. von T(t) hab ich ja

aber wie es weitergeht hab ich noch nicht so richtig geschnallt
 
 
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Ist bei diesen Lösungen eigentlich die Randbedingung u(2,t)=0 für alle t erfüllt ? Ich denke nicht, oder habe ich mich da versehen ?
Stephdeluxe Auf diesen Beitrag antworten »

mit
ist die scho erfüllt. weil X(0)=X(2)=0
und u(x,t)=X(x)*T(t)
Harry Done Auf diesen Beitrag antworten »

Also du hast die allgemeine Lösung:




Mit u(0,t)=0 bekommst du .
Mit u(2,t)=0 bekommst du

Zwischenergebnis:


Da u(x,0) auch aus sin und cos besteht, hab ich jetzt n zweimal so gewählt, dass sich 2x bzw. 3x ergibt.

und


Das dann in
eingesetzt und das dann für den Fall u(x,0) verglichen ergibt:



Wenn man diese Lösung in die Ausgangs- PDG einsetzt dann stimmt es.

Gruß Jan
Stephdeluxe Auf diesen Beitrag antworten »

hast du c1 einfac =1 gesetzt, oder hab ich da was übersehen?
Harry Done Auf diesen Beitrag antworten »

Nee hab
und
gesetzt.
Sind ja Konstanten, kann man also machen.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stephdeluxe
die Musterlösung sagt:

Na gut, gehen wir von der Musterlösung aus für x=2 (und dabei den Exponenten gleich negative Vorzeichen gegeben):



also


Und für x=0...2:
für t=0; t=0,1; t=0,2[/latex]
Stephdeluxe Auf diesen Beitrag antworten »

Hilfe
na toll, jetzt bin ich verwirrt verwirrt
aber ich muss doch den Mist am Dienstag schreiben!

und jetzt stimmt da was nicht.
ohgottohgottohgott unglücklich

Und ich dachte ich hätte es kapiert!

was soll ich denn jetzt machen?


so, habs mir nochmal angeguckt.

die ******, die die aufgabe gestellt haben, haben oben zwar u(1,t)=0 in die Aufgabe geschrieben, aber mit gerechnet.
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Also versuch ich es nochmal. Es wird einiges auftauchen was schon geschrieben wurde, ist ja nicht so schlimm.

Deine partielle DGL ist:



mit

Über den Separationsansatz gelangen wir zu



Also ist



das ergibt nach einsetzen



oder besser



die beiden Geöwhnlichen DGLen führen zu Teillösungen



Das führt in den Ansatz eingesetzt:



mit und

Nun kannst du die Nebenbedingungen einsetzen:

mit
mit

Damit reduziert sich die Lösung schonmal auf:



Zu letzt kann man jetzt noch den Paramter A über die dritte Nebenbedingung bestimmen:



Mit unsere Teillösung:



jetzt gibt es zwei Fälle


und


Wenn du nun n wieder einsetzt



und die Koeffizienten vergleichst, kommst du auf und .

Somit lautet die Lösung ():

Stephdeluxe Auf diesen Beitrag antworten »

ja, nur leider stimmt eben das RWP u(2,t)=0 nicht.

ich kann aber den fehler nicht finden. Gibt es denn überhaupt für jede so gestellte PDE eine Lösung?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn sie mit dem RWP



gerechnet haben, setzte doch einfach mal so ein und löse nach auf.
Stephdeluxe Auf diesen Beitrag antworten »

mit dem anderen RWP gehts ja auch. hab das nachgerechnet.
Aber warum kommt denn dasselbe raus, wenn man ein anderes RWP nimmt?
Und warum geht die Gleichung nicht auf, obwohl der Rechenweg stimmt?
Das find ich halt so eigenartig
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Meinung:

Bei dieser Aufgabe passt die Anfangsbedingung
einfach nicht zu der Randbedingung .

Greif doch den Vorschlag von iammrvip auf und rechne mit .
Stephdeluxe Auf diesen Beitrag antworten »

ch ja, ich wollt mich mal bei euch für die schnelle und qualifizierte Hilfe bedanken. Gott
Ich denke, daß ich durch die Disskussion das Thema verstanden habe.

@ etzwane: also gibt es mit dieser Methode nicht für alle RWP mit best. Anfangsbedingungen Lösungen?
Das würde ja in der Praxis (ich studier Maschinenbau) heißen, das man immer die Probe machen muss.
aber ich denke mal, daß man die realen probleme wohl doch eher numerisch lösen wird (aber das lernen wir ja nicht in Mathe Kotzen )

naja, was solls Rock
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