Vektorrechnung: Spiegeln von Punkten und Geraden

06.03.2005, 14:01	busta	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorrechnung: Spiegeln von Punkten und Geraden Fangen wir mal mit den Punkten an: - Wir spiegeln einen Punkt X(x1;x2;x3) am Ursprung, die denkbar einfachste Variante: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wird zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -x1 \\ -x2 \\ -x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ - Wir spiegeln unseren Punkt an irgendeinem beliebigen Punkt P(p1;p2;p3): $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wird zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} p1-x1+p1 \\ p2-x2+p2 \\ p3-x3+p3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Denn wir brauchen den Abstand zwischen Punkt A und Punkt P, der Abstand wird dann zu Punkt P in Richtung AP addiert. - An der x-y, x-z oder y-z Ebene: x-y-Ebene: Nur der x3 Wert wird mit einem negativen Vorzeichen versehen. x-z-Ebene: Der x2 Wert wird mit einem negativen Vorzeichen versehen. y-z-Ebene: Der x1 Wert wird mit einem negativen Vorzeichen versehen. - Spiegelung an einer der Koordinatenachsen: an der x bzw x1 Koordinatenachse: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wird zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x1 \\ -x2 \\ -x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ an der y bzw x2 Koordinatenachse: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wird zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -x1 \\ x2 \\ -x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ an der z bzw x3 Koordinatenachse: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wird zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -x1 \\ -x2 \\ x3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kann mal jemand sagen, wie man einen Punkt an einer beliebigen Geraden speigelt? Und wie man Geraden Spiegelt?
06.03.2005, 14:31	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung: Spiegeln von Punkten und Geraden Punkt an einer Gerade spiegeln: Man stellt eine Gerade (bzw. in R³ eine Ebene) auf, die auf die Gerade im rechten Winkel steht und durch den Punkt P geht. Dann schneidet man die gegebene Gerade mit der aufgestellten Gerade (bzw. Ebene) und erhält so den Schnittpunkt S. Nun gilt für den gespiegelten Punkt: gespiegelter Punkt = P + 2 * VektorPS oder noch einfacher: gespiegelter Punkt = S + Vektor PS Für die Spiegelung einer Geraden gilt dasselbe, bloß, dass man eben 2 Punkte der gegebenen Gerade an der Symmetrieachse spiegelt, damit man sich dann mit den 2 gespiegelten Punkten die neue Gerade aufstellen kann. lg kiki
06.03.2005, 20:51	busta	Auf diesen Beitrag antworten »
bin jetzt erst dazu gekommen mir gedanken darüber zu machen noch einafcher ist es irgendeinen punkt der geraden, vorzugsweise einafch den stützvektor, an einem punkt zu spiegeln -> man erhält den neuen stützvektor und den richtungsvektor kann man jaeinfach beibehalten
06.03.2005, 21:13	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Stützvektor ist bloß eine andere Bezeichnung für einen Punkt. Stützvektor =irgendein gegebener Punkt einer Gerade Du kannst nicht einen Punkt an einem beliebigen Punkt der Gerade spiegeln. Das ergibt dann nicht den Spiegelpunkt bezüglich der Gerade. Oder hab ich dich da jetzt falsch verstanden? lg kiki

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