Trigonometrische Identitäten

02.09.2007, 11:16

Rahdox

Trigonometrische Identitäten

Ich habs nicht so trigonometrischen Funktion und ihrer Umformung.... schon in der Schule nicht :/

Ich soll zeigen :
$\begin{eqnarray*} cos(x)-cos(y)=-2sin(\frac{x+y}{2})sin(\frac{x-y}{2}) \end{eqnarray*}$

Nun hab ich Ansatz genommen:

$\begin{eqnarray*} cos(x)=cos(\frac{x}{2}+\frac{x}{2})=cos(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2})-sin(\frac{x}{2})sin(\frac{x}{2})=cos^2(\frac{x}{2})-sin^2(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(y)=cos(\frac{y}{2}+\frac{y}{2})=cos(\frac{y}{2})cos(\frac{y}{2})-sin(\frac{y}{2})sin(\frac{y}{2})=cos^2(\frac{y}{2})-sin^2(\frac{y}{2}) \end{eqnarray*}$

Eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} cos^2(\frac{x}{2})-sin^2(\frac{x}{2})-(cos^2(\frac{y}{2})-sin^2(\frac{y}{2})) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos^2(\frac{x}{2})-sin^2(\frac{x}{2})-cos^2(\frac{y}{2})+sin^2(\frac{y}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1-sin^2(\frac{x}{2}))-sin^2(\frac{x}{2})-(1-sin^2(\frac{y}{2}))+sin^2(\frac{y}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2sin^2(\frac{x}{2})+2sin^2(\frac{y}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2(sin^2(\frac{x}{2})-sin^2(\frac{y}{2})) \end{eqnarray*}$

Hier weiß ich nicht mehr weiter :/
Ist der Ansatz richtig ?
Hat ein nen Tipp wie ich weiter vorgehen kann ?

02.09.2007, 11:23

klarsoweit

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RE: Trigonometrische Identitäten
Ich würde es mit

$\begin{eqnarray*} cos(x) = cos(\frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{2}) = ... \end{eqnarray*}$

versuchen.

Analog für cos(y). Dann die Ergebnisse subtrahieren.

02.09.2007, 12:42

Rahdox

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$\begin{eqnarray*} cos(x)-cos(y)=cos(\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2})-cos(\frac{x+y}{2}+\frac{-x+y}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})-sin(\frac{x+y}{2})sin(\frac{x-y}{2})-(cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{-x+y}{2})-sin(\frac{x+y}{2})sin(\frac{-x+y}{2})) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})-sin(\frac{x+y}{2})sin(\frac{x-y}{2})-cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{-x+y}{2})+sin(\frac{x+y}{2})sin(\frac{-x+y}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})+sin(\frac{x+y}{2})sin(\frac{-x+y}{2})+cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})+sin(\frac{x+y}{2})sin(\frac{-x+y}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})+2sin(\frac{x+y}{2})sin(\frac{-x+y}{2}) \end{eqnarray*}$

hm und dann ?

02.09.2007, 12:57

therisen

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Minus mal Minus ergibt Plus Augenzwinkern

02.09.2007, 13:01

Rahdow

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hä

Soll ich jetzt irgendwo - rausziehen um dann ein - mal - zu erzeugen oder hab ich mich irgendwo verrechnet ?

02.09.2007, 13:03

therisen

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Die zweite Zeile in deinem Beitrag ist schon falsch, genauer der letzte Term.

02.09.2007, 13:08

Rahdox

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Oo sry ich sehs net Oo Hammer

02.09.2007, 13:12

therisen

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EDIT: Sorry, ich hatte deine Klammern übersehen.

02.09.2007, 13:14

WebFritzi

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@therisen: Den Fehler, den du meinst, sehe ich auch nicht.

Der Fehler ist in der vorletzten Zeile. Vor dem dritten Term steht ein "+", wo aber ein "-" hingehört, denn

cos(-x) = cos(x).

02.09.2007, 13:25

Rahdox

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ich hab doch das $\begin{eqnarray*} -cos(\frac {x+y}{2})cos(\frac{-x+y}{2}) \end{eqnarray*}$ in
$\begin{eqnarray*} cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2}) \end{eqnarray*}$ umgewandelt... ist doch richtig ?

02.09.2007, 13:35

therisen

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Nein, es fehlt ein Minus vor dem Term. Der Cosinus ist eine gerade Funktion.

02.09.2007, 13:37

WebFritzi

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Zitat:

Original von Rahdox
ich hab doch das $\begin{eqnarray*} -cos(\frac {x+y}{2})cos(\frac{-x+y}{2}) \end{eqnarray*}$ in
$\begin{eqnarray*} cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2}) \end{eqnarray*}$ umgewandelt... ist doch richtig ?

Liest du auch die Beiträge, die dir geschrieben werden? Ich hatte klipp und klar geschrieben, dass cos(-x) = cos(x) gilt.

02.09.2007, 13:52

Rahdox

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Sry WebFritzi, hab mir ein - dem cos(x) eingebildet unglücklich

Ok also heißt es richtig (ab der 4 Zeile) :

$\begin{eqnarray*} cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})+sin(\frac{x+y}{2})sin(\frac{-x+y}{2})-cos(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})+sin(\frac{x+y}{2})sin(\frac{-x+y}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\cdot sin(\frac{x+y}{2})sin(\frac{-x+y}{2}) \end{eqnarray*}$ | -1 rausziehn

$\begin{eqnarray*} -2 \cdot sin(\frac{x+y}{2})sin(\frac{x-y}{2}) \end{eqnarray*}$

Danke allen für die "Erleutung" smile

02.09.2007, 15:07

WebFritzi

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Zitat:

Original von Rahdox
-1 rausziehn

Ja, genau, beim Sinus darfst du das machen, weil der Sinus ungerade ist.

02.09.2007, 21:39

mYthos

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