Frage zum Minorantenkriterium

03.09.2007, 11:46

blub85

Frage zum Minorantenkriterium

Das Minorantenkriterium darf ich doch nur anwenden, wenn es keine negativen Summanden enthält.

Also darf ich das bei keiner alternierenden Reihe anwenden ?!?

Sehe ich das richtig.

Vielen Dank

03.09.2007, 12:07

therisen

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RE: Frage zum Minorantenkriterium

Zitat:

Original von blub85
Also darf ich das bei keiner alternierenden Reihe anwenden ?!?

Ja, richtig.

03.09.2007, 12:11

blub85

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okay, dann nochmal eine Frage zu Konvergenz bei Reihen:

die harmonische Reihe divergiert ja, obwohl nach dem Quotientenkriteriumg gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}} = \frac{n}{n+1} < 1 \end{eqnarray*}$

Wie kann ich mir das erklären ?

03.09.2007, 12:13

WebFritzi

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Du musst den Grenzwert (für n gegen Unendlich) betrachten. Schau in dein Skript.

03.09.2007, 12:18

therisen

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Das Problem ist, dass es kein $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<\theta<1 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq\theta \end{eqnarray*}$ für fast alle n. So lautet vermutlich deine Version.

03.09.2007, 12:19

blub85

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ich raff das ausm Skirpt nicht.

Zitat:

Sowohl un Quotienten - als auch im Wurzelkriterium ist es also ganz wesentlich, dass das q < 1 unabhängig von n gewählt werden kann

Das versteh ich nicht ganz, da zB gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{2}, n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Wenn ich q=3/4 nehme, dann habe ich doch das Quotientenkrit. unabhängig von n gezeigt?!?

03.09.2007, 12:20

therisen

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Dein q ist wahrscheinlich mein $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ . Wie gesagt, aus $\begin{eqnarray*} a_n<1 \end{eqnarray*}$ für fast alle n kann nicht gefolgert werden, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n<1 \end{eqnarray*}$ .

03.09.2007, 12:23

WebFritzi

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Zitat:

Original von blub85
Das versteh ich nicht ganz, da zB gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{2}, n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Wenn ich q=3/4 nehme, dann habe ich doch das Quotientenkrit. unabhängig von n gezeigt?!?

Das Quotientenkriterium hast du mal gar nicht gezeigt. Das ist bereits in deinen Büchern bewiesen. Du meinst, dass du mit dem QK gezeigt hast, dass deine Reihe konvergiert? Mitnichten, denn du hast ja nicht 1/(n+1), sondern n/(n+1). Und das konvergiert monoton steigend gegen 1. Also gibt es kein q < 1, so dass n/(n+1) < q für alle n.

03.09.2007, 12:28

blub85

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okay, du hast einen edit gemacxht... jetzt hab ich das kapiert! vielen dank!!

03.09.2007, 12:30

WebFritzi

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Warum packst du das eigentlich in "Schulmathe"? verwirrt

03.09.2007, 12:33

blub85

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weil ich schon 2-3 ma dumm angemacht wurde, als ich gewisse "triviale" (mein Mathe-Lieblingswort Big Laugh

) Sachverhalte in die Studentenmathe gepackt habe...

Auch wenn ich zwar Infostudent bin, sind meine Mathefragen nicht immer auf Studentenniveau. ich weiß es nicht....

smile

03.09.2007, 12:36

therisen

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Verschoben Augenzwinkern

03.09.2007, 12:41

Dual Space

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Zitat:

Original von therisen
Wie gesagt, aus $\begin{eqnarray*} a_n<1 \end{eqnarray*}$ für fast alle n kann nicht gefolgert werden, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n<1 \end{eqnarray*}$ .

Nur die folgende schwächere Formulierung gilt.

Sei $\begin{eqnarray*} a_n<1 \end{eqnarray*}$ für (fast) alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n\leq 1 \end{eqnarray*}$ , sofern der Grenzwert existiert.

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