Würfeln

03.09.2007, 13:23

Yorin

Auf diesen Beitrag antworten »

Würfeln

Hallo, ich brauche Hilfe zum Verständnis

Beim Würfeln mit 2 Würfeln möchte ich die Kombinationen für eine bestimmte Augenzahl ermitteln, meinetwegen 4.

Es gibt dafür 3 Kombinationen (1,3 ... 2,2 ... 3,1) das leuchtet ein und ist eig. ja auch nicht besonders schwierig.

Wie aber kann ich das RECHNERISCH ermitteln? Wenn ich 9 Würfel hätte und irgendein Ergebnis brauche, zähle ich ja drei Wochen

Also wie lässt sich das RECHNERISCH ermitteln (möglichst mit kurzer Begründung, da es mir um das Verständnis geht).

Danke für eure Mühe.

03.09.2007, 13:32

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Würfeln

Zitat:

Original von Yorin
Wie aber kann ich das RECHNERISCH ermitteln? Wenn ich 9 Würfel hätte und irgendein Ergebnis brauche, zähle ich ja drei Wochen

Das ist doch noch eine endliche Zeit. Big Laugh

Big Laugh

Also was anderes wird du nicht machen können. Oder nimm einen Computer zu Hilfe.

03.09.2007, 13:37

Yorin

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Würfeln
Grins. Ja klar. Aber was bringt mir die ganze Kombinatorik, wenn ich damit solche Fälle nicht berechnen könnte?

Und mein Beispiel ist ja noch einfach - wenn ich 17 Würfel hätte und wissen will, wieviele Möglichkeiten ich für die "86" hab, kann Auszählen doch nicht die sinnvolle Lösung sein.

Achso - und eine PC-Lösung bringt mich dem Verständnis ja keinen Schritt weiter, ich wills aber VERSTEHEN Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.09.2007, 13:37

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, das du irgendein Ereigniss suchst. Ggf. kann es in einem konkreten Fall durchaus schneller gehn.

03.09.2007, 13:39

Yorin

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, ich suche das Ereignis "4" mit zwei Würfeln; so unkonkret ist das doch nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.09.2007, 13:42

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber dieses "Summe zweier Augenzahlen beim Würfeln gleich 4" hast du doch gelöst oder nicht ? verwirrt

verwirrt

Anzeige

03.09.2007, 13:45

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Yorin
Und mein Beispiel ist ja noch einfach - wenn ich 17 Würfel hätte und wissen will, wieviele Möglichkeiten ich für die "86" hab, kann Auszählen doch nicht die sinnvolle Lösung sein.

3 würfel: 10 erscheint öffter als 9

03.09.2007, 13:47

Yorin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lazarus
Aber dieses "Summe zweier Augenzahlen beim Würfeln gleich 4" hast du doch gelöst oder nicht ? verwirrt

verwirrt

Grins. Ja. Aber eben nicht rechnerisch. Dieses Beispiel dient ja der Vereinfachung, weil man hier zur Not auch abzählen kann.

03.09.2007, 14:32

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest der von mir genannten Methode ruhig eine Chance geben - wesentlich einfacher und "eleganter" geht es nicht, um auf das Ergebnis 511439815 für die Anzahl der 17-Tupel von Würfelaugen mit Summe 86 zu kommen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.09.2007, 14:56

Yorin

Auf diesen Beitrag antworten »

Jeder bekommt bei mir seine Chance Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber ... ich versteh den Weg nicht ganz. Mir geht es ja mehr um das Verständnis als um die Lösung Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich mach das als Hobby, bin doch schon etwas länger aus der Schule raus. Daher fehlt mir sicher inzwischen einiges an Wissen und ich muss mehr auf Verstehen lernen.

Es gibt wirklich gute, auch verständliche, Bücher zur Kombinatorik. Aber manche Dinge werden vorausgesetzt.

Dass mit 2 Würfeln die Wahrscheinlichkeit für eine 7 am höchsten ist, ist vollkommen verständlich, weil man das ja ausprobieren oder aufzeichnen kann. ABER ich hab dafür noch nie einen Rechenweg gesehen.

Ich will das Ganze verstehen smile

smile

Was bringt mir die Kombinatorik, wenn ich solch einfache Fälle schon nicht berechnen kann?

Versteh mich nicht falsch, ich hab mir deinen Weg angesehen und finde ihn gut, soweit ich ihn verstehe. Du hast dir offenbar sehr viel Mühe gemacht. Aber es muss doch einen Weg geben, mithilfe der paar (eigentlich einfachen) Rechenwege der Kombinatorik auch dahin zu kommen.

03.09.2007, 15:00

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst also eine einfache, schöne geschlossene Formel für diese Anzahl von 17-Tupeln mit Summe 86 ? Ich schau sie mir gern an, wenn du sie gefunden hast - aber ich zweifle stark an, dass dir das gelingt.

Im übrigen habe ich im verlinkten Thread schon erklärt, wie man drauf kommt, und das es hier um die Faltung diskreter Verteilungen geht.

03.09.2007, 15:01

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Jedes Problem erfordert seine eigenen Methoden. Es gibt keine Formel für alles.

03.09.2007, 15:02

Yorin

Auf diesen Beitrag antworten »

Lach. Genau das will ich ja wissen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich kenne Permutationen, ich kenne die Rechenregeln der Kombinatorik. Aber mir fällt kein Weg ein, mein Beispiel damit zu berechnen.

03.09.2007, 15:04

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Yorin
Lach. Grins.

Es gibt für sowas Smileys!

03.09.2007, 15:04

Yorin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Du willst also eine einfache, schöne geschlossene Formel für diese Anzahl von 17-Tupeln mit Summe 86 ? Ich schau sie mir gern an, wenn du sie gefunden hast - aber ich zweifle stark an, dass dir das gelingt.

Im übrigen habe ich im verlinkten Thread schon erklärt, wie man drauf kommt, und das es hier um die Faltung diskreter Verteilungen geht.

Ok jetzt wirds sicher richtig peinlich. Aber was ist genau eine Faltung diskreter Verteilungen? Da wirds schon schwierig für mich?

Ich sonne mich noch in der Welt der binomischen Formeln. Die sind auch für einen Interessierten verständlich. So einfach gehts wohl leider nicht mehr?

03.09.2007, 15:05

Yorin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Yorin
Lach. Grins.

Es gibt für sowas Smileys!

Weiß ich

Augenzwinkern

Aber darauf kommts doch hier nicht an.

03.09.2007, 15:06

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich kanns nur nicht leiden. Aber darauf kommts ja hier nicht an. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Big Laugh

03.09.2007, 15:12

Yorin

Auf diesen Beitrag antworten »

Himmel, was erwartest du in meinem Alter Augenzwinkern

Augenzwinkern

Alle smileys kenn ich nicht mal mehr.

03.09.2007, 15:12

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Yorin
Ich sonne mich noch in der Welt der binomischen Formeln. Die sind auch für einen Interessierten verständlich. So einfach gehts wohl leider nicht mehr?

Sicher nicht. Für "Teilfälle" hier gibt es durchaus eine schöne geschlossene Lösungsdarstellung, z.B. wenn es bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Würfeln um eine Augensumme $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\leq s\leq n+5 \end{eqnarray*}$ geht. Da ist die Anzahl der Tupel gleich

$\begin{eqnarray*} \binom{s-n+n-1}{s-n} = \binom{s-1}{s-n} = \binom{s-1}{n-1} \end{eqnarray*}$ ;

aus Symmetriegründen kriegt man analog für $\begin{eqnarray*} 6n-5\leq s\leq 6n \end{eqnarray*}$ den Anzahlwert $\begin{eqnarray*} \binom{7n-s-1}{n-1} \end{eqnarray*}$ .

Für die "Zwischenwerte" $\begin{eqnarray*} n+6\leq s\leq 6n-6 \end{eqnarray*}$ der Augensummen wird die Sache eben komplizierter, das wird aber offenbar erst für $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ relevant.

03.09.2007, 15:27

Yorin

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, jetzt kommt was, womit ich alter Esel wirklich was anfangen kann. Mit diesen Formeln könnte ich weiterarbeiten. Wobei ich deine Einschränkung durchaus verstehe smile

smile

Jaja, kommt davon, wenn man in meinem Alter nochmal anfängt, sich mit solchen Problemen herum zu schlagen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da fehlt sicher viel Grundlagenwissen.

Nur so zum Spass: Ich kam auf die ganze Sache, weil ich in einem hervorragend geschriebenen (populärwissenschaftlichen) Mathebuch einen Artikel fand, in dem das Spiel Monopoly mathematisch aufgeschlüsselt werden sollte. Welches Feld wird mit welcher Wahrscheinlichkeit getroffen, wo und wann sollte man welche Häuser kaufen, um möglichst erfolgreich zu wirtschaften etc. pp.

Fand ich super interessant und wollte das Ganze einmal nachvollziehen. Aber da sind manche Dinge vorausgesetzt, die ich nicht verstehe. So ist mir z.B. klar, dass die "7" bei zwei Würfeln am häufigsten vorkommt, weil sie die meisten Kombinationen hat. Aber errechnen kann ich das nicht. Oder wie eine Zahl modulo gerechnet wird.

Langer Rede kurzer Sinn, auf diesem Weg kam ich zu meiner Frage smile

smile

03.09.2007, 15:46

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit die angegebene Formel nicht so ganz "in der Luft" hängt:

$\begin{eqnarray*} \binom{s-n+n-1}{s-n} = \binom{s-1}{s-n} = \binom{s-1}{n-1}\qquad (*) \end{eqnarray*}$

ist einfach die Anzahl aller $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Tupel positiver ganzer Zahlen mit Summe $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ . D.h., die bei Würfelaugenzahlen wichtige Einschränkung, dass die einzelnen Tupelwerte < 6 sind, fehlt hier! Was aber im Fall $\begin{eqnarray*} n\leq s\leq n+5 \end{eqnarray*}$ keinen Unterschied macht, denn da sind auch ohne diese Einschränkung keine Tupelwerte größer als 6 möglich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber wie gesagt, für die Augenzahlen $\begin{eqnarray*} n+6\leq s\leq 6n-6 \end{eqnarray*}$ gilt Anzahlformel (*) nicht, sondern liefert allenfalls eine zumeist eher grobe obere Schranke für die tatsächliche Tupelanzahl.

03.09.2007, 18:38

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch etwas nachgedacht, bzw. eher nachgesucht - und siehe da, ich hab das Problem doch schon mal vor 20 Jahren gelöst: smile

smile

Zitat:

Mathematik-Korrespondenzzirkel der DDR 1986/87, Runde 5, Aufgabe 1:

Für gegebene positive ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} S(r,v,n) \end{eqnarray*}$ die Anzahl von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Tupeln $\begin{eqnarray*} (x_1,\ldots,x_n) \end{eqnarray*}$ aus nichtnegativen ganzen Zahlen, die den Bedingungen

$\begin{eqnarray*} x_1+x_2+\cdots+x_n=r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_i\leq v,\quad i=1,2,\ldots,n \end{eqnarray*}$

genügen. Man beweise:

$\begin{eqnarray*} S(r,v,n) = \sum\limits_{k=0}^m ~ (-1)^k\cdot \binom{n}{k} \cdot \binom{r-(v+1)k+n-1}{n-1} \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} m = \min\left\{ n,\left\lfloor \frac{r}{v+1} \right\rfloor \right\} \end{eqnarray*}$ ist.

Der Beweis läuft - wie unschwer an der Struktur erkennbar ist - wieder mal über die Siebformel.

Im vorliegenden Fall der Würfelaugensummen wählt man $\begin{eqnarray*} v=5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r=s-n \end{eqnarray*}$ , denn die Tupelelemente $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ sind hierbei nicht die Würfelaugenzahlen selbst, sondern die Würfelaugenzahlen minus Eins !

03.09.2007, 19:49

Yorin

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss dir mal ein dickes Lob aussprechen für deine Mühe. Deine letzte Sache muss ich mir als Laie noch mal in Ruhe ansehen, das könnte ich (mit etwas Mühe aber immerhin) verstehen.

Ich finds aber klasse, dass du nicht locker lässt und wirklich versuchst, mir zu helfen smile

smile

Mal sehen, vielleicht bringt mir das wirklich eine Erleuchtung.

Dank dir.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »