Nullstellen und Def.bereich

03.09.2007, 14:10

meli05

Nullstellen und Def.bereich

Hallo mal wieder,

folgende funktion habe ich gegeben:

$\begin{eqnarray*} y=ln(sin(2x-a)) \end{eqnarray*}$

a) bestimmen sie alle nullstellen
b)wie lautet der Def.bereich?

zu a)

nullstellen war doch die funkton nullsetzen oder?

also:
$\begin{eqnarray*} ln(sin(2x-a))=0 \end{eqnarray*}$

okay ln von 1 is null d.h. ich muss nun schauen, dass mein sinus den wert 1 annimmt.. z.b. bei $\begin{eqnarray*} 1/2 \pi \end{eqnarray*}$

sprich $\begin{eqnarray*} 2x-a=1/2 \pi \end{eqnarray*}$

irgendwie komm ich da dann nicht so weiter?

zu b) hm ja der sinus term darf eben nicht 0 und nicht neg. werden oder? Aber das a verwirrt mich da muss ich ja dann sicher auch noch unterscheiden, ob a < 0 oder a>0 oder a=0 oder? wie gehe ich denn da am besten ran?

danke schonmal

mfg
meli

03.09.2007, 14:13

WebFritzi

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Zuerst sollte man (b) machen. Also, sin(2x - a) > 0 soll gelten. Setze y := 2x - a. Für welche y ist nun sin(y) > 0?

03.09.2007, 14:14

vektorraum

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RE: Nullstellen und Def.bereich
Hi!

Richtig ist schon mal, dass sich das Problem der Nullstellensuche auf das Problem

$\begin{eqnarray*} \sin(2x-a)=1 \end{eqnarray*}$

"reduziert". Ein möglicher Trick wäre nun zu substituieren. Setze einfach $\begin{eqnarray*} t:=2x-a \end{eqnarray*}$ und schau wann die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sin(t)=1 \end{eqnarray*}$

erfüllt ist. Vergiss die Perioden nicht!!!

Bei 2) ist eine Fallunterscheidung nötig! Betrachte den einfachsten Fall für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ zuerst.

03.09.2007, 14:15

mYthos

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Zu a)

Bislang richtig, schreibe aber lieber

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Setze

$\begin{eqnarray*} 2x - a = \frac{\pi}{2} + 2k \pi \ \ \ldots k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

und löse dann nach nach x

mY+

03.09.2007, 14:15

system-agent

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der sinus hat aber seine nullstellen nicht da wo du meinst, sondern
für $\begin{eqnarray*} x=k\cdot \pi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .
nun korriegiere das, löse deine bedingung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und dann musst du schauen, wo der sinus >= 0 bleibt

03.09.2007, 14:17

mYthos

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@sys...

Es geht NICHT um die Nullstellen des Sinus, sondern um jene Stellen, an denen der SIN = 1 ist!! Es ist die Nullstelle der Log-Funktion.

mY+

03.09.2007, 14:19

system-agent

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für mich
danke mythos, also meinen beitrag vergessen Augenzwinkern

03.09.2007, 14:21

WebFritzi

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RE: Nullstellen und Def.bereich

Zitat:

Original von vektorraum
Bei 2) ist eine Fallunterscheidung nötig!

Sehe ich nicht so. Ich habe raus:

$\begin{eqnarray*} D = \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left(k\pi + \frac{a}{2}, k\pi + \frac{a+\pi}{2}\right). \end{eqnarray*}$

03.09.2007, 14:25

Airblader

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@WebFrizi

Hast du bemerkt, dass wir uns nicht im HS-Bereich befinden verwirrt

air

03.09.2007, 14:26

vektorraum

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RE: Nullstellen und Def.bereich

Zitat:

Original von WebFritzi

Sehe ich nicht so. Ich habe raus:

$\begin{eqnarray*} D = \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left(k\pi + \frac{a}{2}, k\pi + \frac{a+\pi}{2}\right). \end{eqnarray*}$

Na da bin ich mal gespannt, ob Melli das Zeichen in der Schule schonmal gesehen und verstanden hat. Ich verweise nur mal ganz kurz auf ein Zitat von WebFritzi aus einem anderen Thread

Zitat:

Wir sind hier in der Schulmathematik. Um wieviel wolen wir wetten, dass mmfl nichts mit deinem Hinweis anfangen kann?

03.09.2007, 14:35

WebFritzi

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Ich wollte nur mein Ergebnis posten, eher für euch als für den Fragesteller. Ihr könnt mich nicht mit meinen eigenen Waffen schlagen. Also vergesst es.

Ich wollte damit zudem darauf aufmerksam machen, dass der Definitionsbereich ganz schön haarig ist. Die Aufgabe ist also viel zu schwer für die Schule.

Übrigens: Was eine Fallunterscheidung hier helfen soll, entzieht sich mir immernoch.

03.09.2007, 14:38

vektorraum

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Aber hier will doch keiner jemanden mit irgendwelchen Waffen schlagen. Musst ja nicht gleich so empfindlich reagieren. Wer austeilt muss doch auch einstecken können.

Diese Aufgabe wird sicherlich Leistungskursniveau haben - der Aufgabensteller sollte sich auch mal zu Wort melden.

Stimmt, Fallunterscheidung bzgl. a ist nicht sehr effektiv.

03.09.2007, 14:41

WebFritzi

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Zitat:

Original von vektorraum
Aber hier will doch keiner jemanden mit irgendwelchen Waffen schlagen. Musst ja nicht gleich so empfindlich reagieren. Wer austeilt muss doch auch einstecken können.

Richtig. Deshalb habe ich beim Lesen deines Beitrags auch ein wenig schmunzeln müssen. Augenzwinkern

03.09.2007, 15:28

meli05

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RE: Nullstellen und Def.bereich

Zitat:

Original von vektorraum

"reduziert". Ein möglicher Trick wäre nun zu substituieren. Setze einfach $\begin{eqnarray*} t:=2x-a \end{eqnarray*}$ und schau wann die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sin(t)=1 \end{eqnarray*}$

erfüllt ist. Vergiss die Perioden nicht!!!
.

ja gut also für $\begin{eqnarray*} t=\frac{\pi}{2} ,\frac{5}{2}\pi, \frac{9}{2}\pi... \end{eqnarray*}$ ist die gleichung erfüllt oder?

@mythos

$\begin{eqnarray*} 2x-a=\frac{\pi}{2}+2k\pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{4}+k\pi+a/2 \end{eqnarray*}$

so oder wie? verwirrt

@webfritzi warum bringt mir hier eine fallunterscheidung nichts? und wie komme ich auf das ergebnis von dir?

die aufgabe ist stoff einer uni klausur (1. klausur mathe) die laut proof aber noch schulstoff beinhaltet sprich derartiges haben wir auch nicht in der vorlesung behandelt..

mfg
meli

03.09.2007, 15:37

mYthos

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RE: Nullstellen und Def.bereich
Ja, sicher

$\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{4}+\frac{a}{2}+k\pi \end{eqnarray*}$

mY+

03.09.2007, 16:38

vektorraum

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RE: Nullstellen und Def.bereich

Zitat:

Original von meli05
ja gut also für $\begin{eqnarray*} t=\frac{\pi}{2} ,\frac{5}{2}\pi, \frac{9}{2}\pi... \end{eqnarray*}$ ist die gleichung erfüllt oder?

Gut. Das kannst du noch schön verallgemeinern, denn du findest ja in der Folge der Lösungen einen bestimmten Ansatz. Allgemein gilt nämlich

$\begin{eqnarray*} t=(4k-3)\cdot \cfrac{\pi}{2},~k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Aber mit der Lösung von Mythos kommst du auch weiter. So kennst du jetzt verschiedene Lösungsmöglichkeiten Augenzwinkern

Tipp für den Definitionsbereich: hier würdest du mit einer Substitution in der gleichen Art und Weise auch erstmal weiterkommen. Probiers mal.

P.S. Ich würde auch sagen, dass die Aufgabe mit Schulkenntnissen zu lösen ist, und daher keiner Universitäts-kenntnisse aus dem Bereich der Mathematik bedarf. Also weiterhin viel Spaß beim Lösen!

03.09.2007, 18:13

WebFritzi

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y = 2x -a

$\begin{eqnarray*} \sin(y) > 0 &\Longleftrightarrow& y\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \big(2k\pi,(2k+1)\pi\big)\\&\Longleftrightarrow& 2x-a\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \big(2k\pi,(2k+1)\pi\big)\\&\Longleftrightarrow& 2x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \big(2k\pi + a,(2k+1)\pi + a\big)\\&\Longleftrightarrow& x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left(k\pi + \frac{a}{2},k\pi + \frac{a+\pi}{2}\right). \end{eqnarray*}$

04.09.2007, 13:52

meli05

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RE: Nullstellen und Def.bereich
[/quote]

Tipp für den Definitionsbereich: hier würdest du mit einer Substitution in der gleichen Art und Weise auch erstmal weiterkommen. Probiers mal.

![/quote]

$\begin{eqnarray*} sin(2x-a)>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin(t)>0 \end{eqnarray*}$

also mein sinus darf ja weder null noch kleiner als null sein oder wie mach ich das?

danke für eure hilfen Augenzwinkern

04.09.2007, 13:56

WebFritzi

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Da werd ich jetzt schon etwas grantig! böse

Ich geb mir Mühe, schreibe einen Beitrag NUR FÜR DICH, und du ignorierst ihn einfach. Super, Meli! unglücklich

04.09.2007, 14:02

meli05

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neeiin ignorier den gar nicht gehe nur chronologisch vor und grade versuch ich den erstmal zu verstehen un dann wollte ich antworten Mit Zunge

Zitat:

Original von WebFritzi
y = 2x -a

$\begin{eqnarray*} \sin(y) > 0 &\Longleftrightarrow& y\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \big(2k\pi,(2k+1)\pi\big)\\&\Longleftrightarrow& 2x-a\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \big(2k\pi,(2k+1)\pi\big)\\&\Longleftrightarrow& 2x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \big(2k\pi + a,(2k+1)\pi + a\big)\\&\Longleftrightarrow& x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left(k\pi + \frac{a}{2},k\pi + \frac{a+\pi}{2}\right). \end{eqnarray*}$

also erstmal dieses U ist das sowas wie ne summe oder wie? verwirrt

$\begin{eqnarray*} \big(2k\pi,(2k+1)\pi\big)\\ \end{eqnarray*}$ und wie komme ich auf diesen Ausdruck? smile

04.09.2007, 14:06

WebFritzi

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Verstehe ich nicht, aber egal...

04.09.2007, 14:15

meli05

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Zitat:

Original von WebFritzi
Verstehe ich nicht, aber egal...

ich bin schwer zu verstehen Augenzwinkern

ps. siehe oben!

04.09.2007, 14:16

Lazarus

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Falls du mit "sowas wie eine Summe" [für WebFritzi zum Verständnis: sie meint mein sowas vermutlich soetwas] Lehrer

] die Vereinigung von Mengen meinst, dann kann ich dir vermutlich sogar folgen.

Du kennst sicherlich aus der 5ten Klasse Mengenlehre $\begin{eqnarray*} A\cup B \end{eqnarray*}$ als Vereinigungsmenge.

Und $\begin{eqnarray*} \bigcup_{k\in\mathbb Z} A_k \end{eqnarray*}$ steht für die Vereinigung alles Mengen A, wobei des Index analog zu verstehn ist wie bei einer Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{i\in\mathbb Z}~i \end{eqnarray*}$ .

Allerdings sehr ungenaue Beschreibung, da muss ich WebFritzi voll und ganz recht geben.

Ich überlasse WebFritzi jetzt mal wieder das Feld, das Inhaltliche zu erklären. Oder soll ich ?

04.09.2007, 14:24

WebFritzi

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Zitat:

Original von Lazarus
Ich überlasse WebFritzi jetzt mal wieder das Feld, das Inhaltliche zu erklären. Oder soll ich ?

Mach ruhig. Augenzwinkern

04.09.2007, 14:37

Lazarus

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Gut. Ich machs ganz anschaulich, dann muss man weniger schreiben. (Potentielle Schreibfehler Augenzwinkern

)
Darum fang ich mal mit nem Plot an:

Wie du siehst ist der Sinus positiv von $\begin{eqnarray*} 0\pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 1 \pi \end{eqnarray*}$ , dann wieder von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 3\pi \end{eqnarray*}$ , von $\begin{eqnarray*} 4 \pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 5 \pi \end{eqnarray*}$ und bei $\begin{eqnarray*} 6 \pi \end{eqnarray*}$ wird er wieder positiv, das ist das Ende (vom Plot), das man grad noch sieht.

Wir sehen, die Abschnitte bei denen Sinus echtpositiv ist, erstrecken sich für die Argumente zwischen $\begin{eqnarray*} 2n\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (2n+1)\pi \end{eqnarray*}$ .

Daraus erhalten wir die Erste Äquivalenz:

$\begin{eqnarray*} \sin(a) >0 \Longleftrightarrow a \in \left(2n\pi ; (2n+1)\pi\right) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gilt.

Um diese Menge von Mengen grifflich zu machen, hat WebFritzi diese, Schreibweise gewählt. Wenn man sie kennt ist sie wie ich finde sehr anschaulich, da man sofort weiss "Da wird zusammengestückelt"

Der Rest sind dann einfach Umformungen des Arguments um es zu isolieren, so wie man es beim "Nach-x-Auflösen" seit der 7ten Klasse macht.

Alles klar ?

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