Beweis: Satz von der impliziten Funktion

03.09.2007, 15:50

hmer

Beweis: Satz von der impliziten Funktion

Hallöchen mal wieder.

Ich steh hier gerade total auf dem Schlauch. Unser Prof scheint einen anderen "Weg" gewählt zu haben, um den Satz von der impliziten Funktion zu beweisen.

Auf jeden Fall ist mir der Beweis nicht wirklich klar. Den Satz wähne ich zu verstehen, wenn ich das Beispiel Einheitskreis anschaue.

Der Einheitskreis beschreibt ja die Menge

$\begin{eqnarray*} M := \{(x,y) \in \mathbb R^2 : x^2 + y^2 -1 = 0 \} \end{eqnarray*}$ .

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^2 + y^2 -1 \end{eqnarray*}$ erfüllt die Voraussetzungen für den Satz der impliziten Funktion z.B. in dem Punkt $\begin{eqnarray*} (\sqrt(2)/2,\sqrt(2)/2) \end{eqnarray*}$ , da dort zum einen:

$\begin{eqnarray*} f(\sqrt(2)/2,\sqrt(2)/2) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} det(f_y) = 2y \end{eqnarray*}$ an der Stelle ungleich 0 ist.

Dann sagt mir der Satz, dass es offene Umgebungen U von x = \sqrt(2)/2 und V von y = sqrt(2)/2 gibt, und eine stetig differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} g: U \to V \end{eqnarray*}$ , sodass gilt:

$\begin{eqnarray*} \{(x,y) \in U \times V: f(x,y) = 0 \} = \{(x,g(x)) : x \in U\} \end{eqnarray*}$

Der Satz sagt mir quasi, dass so eine Funktion existiert und das diese stetig differenzierbar ist -- d.h. aber nicht, dass ich die Form der Funktion explizit angeben kann, oder? Ich meine beim Einheitskreis kann ich das ja noch relativ leicht auflösen, sodass ich quasi für jedes Viertel des Kreises eine eigene Funktion bekomme, aber bei komplizierten Sachen muss ich nicht unbedingt die Lösung so ohne Probleme finden, oder sagt mir eben das der Satz, dass ich das kann??

Vielen dank für eure Hilfe!
hmer

03.09.2007, 15:54

therisen

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RE: Beweis: Satz von der impliziten Funktion

Zitat:

Original von hmer
aber bei komplizierten Sachen muss ich nicht unbedingt die Lösung so ohne Probleme finden

Richtig. Der Satz liefert nur eine Existenzaussage und ist daher eher theoretischer Natur.

19.09.2007, 13:45

hmer

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hallo theriesen und alle anderen natürlich auch :-)

nochmal zu diesem beispiel...

der satz der impliziten funktion macht ja eigentlich keine explizite aussage über diese funktion g, aber er macht eine aussage über die ableitung von g.

also in unserem fall bei dem kreis:

$\begin{eqnarray*} g'(x) = - (2 g(x))^{-1} (2 x) = \frac{-x}{g(x)} \end{eqnarray*}$

gut beim kreis findet man die auflösung ja relativ leicht explizit, aber wenn ich jetzt das hier betrachte, dann habe ich doch im endeffekt eine Differentialgleichung,

$\begin{eqnarray*} g'(x) = - (2 g(x))^{-1} (2 x) = \frac{-x}{g(x)} \end{eqnarray*}$

etwa mit Anfangswert

$\begin{eqnarray*} g(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

Da die DGL lokal Lipschitz ist, sagt mir der Satz von Picard-Lindelöf, dass eine eindeutige Lösung existiert...

aber eigentlich sagt mir der Satz von der impliziten Funktion doch schon, dass eine eindeutige Lösung, also eine eindeutige Funktion g(x) (Banachscher Fixpunktsatz) existiert...

Oder gibt mir der Satz der impliziten Funktion nur solche Differentialgleichungen, die einer lokalen Lipschitz-Bedingung genügen -- das würde ich mal vermuten, da wir ja von der Funktion f(x,y) verlangen, dass sie stetig differenzierbar ist...

Freue mich über Antworten,

grüße
hmer

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