unbestimmtes Integral

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goe.alexander Auf diesen Beitrag antworten »
unbestimmtes Integral
Hallo Leute,
ich habe ein kleines Problem mit einer Integralaufgabe. Die Aufgabe ist:

// soll das Integral von ... heißen

//(2x+5) / (x²+4x+5)

So, ich habe es mit allen Verfahren versucht die ich kenne, Sustitution, Produktintegration und Partialbruchzerlegung wobei das letzte mir am sinnfolsten schien aber ich komme auf komplexe Nullstellen und komme desshalb nicht weiter.
Kann mit jemand helfen?
Gruß alex
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Nebenbei: Für sowas kannst du LaTeX benutzen. Dann sieht das so aus:



air
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: unbestimmtes Integral
Es geht wohl um



Substituiere erstmal x = z-2.
goe.alexander Auf diesen Beitrag antworten »

hab jetzt z-2 substituiert und binn jetzt bei:

(2z+1)/(z²+1) dz

weiß aber nich wie ich weiter komm.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: unbestimmtes Integral
Dennoch solltest du Latex verwenden. Du brauchst den Code doch nur bei mir rauskopieren.

Wir schreiben nun:



Und das sollte jetzt kein Problem mehr darstellen. Augenzwinkern
goe.alexander Auf diesen Beitrag antworten »

Ich blick das mit Latex einfach noch nich aber ich werds noch verstehen.

Ich hab das Integral jetzt mit hilfe von produktintegration berechnet allerdingt müsste ich dann noch den arcustan(z) dz integrieren.
wie soll ich das machen bzw gibt es nicht noch einen leichteren weg das integral zu lösen.
also wie kann ich das integral von 2z/(z²+1) am besten lösen.
 
 
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt da so eine schöne Regel:



Augenzwinkern
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: unbestimmtes Integral
@Klarsoweit: Ich wollte das Ganze ohne Substitution lösen über Partialbruchzerlegung. Leider habe ich da jetzt Probleme. Vlt schaust du mal kurz drüber, bitte???

Wir betrachten

Die Nullstellen des Nenners sind doch und .

Das heißt ich kann den Nenner aufspalten in



Nun kenne ich zwei Methoden, die mir ganz lieb sind. Die Zuhaltemethode und den Koeffizientenvergleich. Lautet der Ansatz bei der Zuhaltemethode:



Will ich nun rauskriegen, setze ich ein. Da kommt dann aber raus

.

Das kann doch aber nicht sein. Wo ist der Denkfehler?

Wie ist das beim Koeffizientenvergleich? Wie muss ich denn hier den Ansatz bauen??



stimmt glaube ich ja nicht???

Danke für eure Hilfe und sorry, wenn ich das mit hier rein poste. Aber es hängt ja sehr eng mit der Aufgabe zusammen.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, therisen. Analog erhalte ich . Aber müssen dei Koeffizienten A,B nicht reell sein verwirrt
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, da es sich um komplexe Nullstellen handelt. Deswegen hilft dir das auch für die weitere Integration nichts.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Das heißt, die Aufgabe ist demnach nicht so lösbar, sondern nur über den Ansatz von klarsoweit. Was meinst du zum Koeffizientenvergleich???
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: unbestimmtes Integral
Zitat:
Original von vektorraum
Wie ist das beim Koeffizientenvergleich? Wie muss ich denn hier den Ansatz bauen??



stimmt glaube ich ja nicht???


Nun, das Ergebnis wäre der Ausgangsterm. Also auch hier eine Sackgasse.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: unbestimmtes Integral
Gibt es ein allgemeines Rezept für PBZ wenn der Nenner zwei komplexe Nullstellen besitzt? Die Bsp die ich kenne, gehen immer von einer zusätzlichen reellen Nullstelle aus.

Sorry, ich weiß - es gibt keine Rezepte Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: unbestimmtes Integral
Zitat:
Original von vektorraum
Gibt es ein allgemeines Rezept für PBZ wenn der Nenner zwei komplexe Nullstellen besitzt?


Ja.

Grad des Zählers = 0: Arcustangens
Grad des Zählers = 1: Logarithmus + c * Arcustangens
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: unbestimmtes Integral
Zitat:
Original von vektorraum
Gibt es ein allgemeines Rezept für PBZ wenn der Nenner zwei komplexe Nullstellen besitzt? Die Bsp die ich kenne, gehen immer von einer zusätzlichen reellen Nullstelle aus.

Ein allgemeines Rezept gibt es prinzipiell schon. Hat man ein quadratisches Polynom p mit komplexen Nullstellen, dann kann man es in diese Form bringen:
mit reellen a und b und b > 0.

Deswegen ist die Substitution der nächste Schritt.

Interessanter wird es bei einem Polynom p(x) = x^4 + 1. Hier helfen die komplexen Nullstellen. Da man diese in konjugiert komplexe Paare aufteilen kann, läßt sich x^4+1 in zwei quadratische Polynome zerlegen:



Nach der PBZ ist man wieder im obigen Lösungsschema.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: unbestimmtes Integral
@Webfriti und klarsoweit: Vielen Dank für eure Antworten. Hat mir sehr geholfen Freude
Cluster2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Augenzwinkern



Entschuldigt die blöde Frage, aber wie kommt man von 1 + 1/(2i) auf 1 - (1/2)*i ?

Ist das Kettenbruch oder irgend eine andere Regel/Methode, die ich vergessen hab? (Bei mir ist das schon ziemlich lang her!)
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »



Da

air
Cluster2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah! Okay habs verstanden.
Danke Airblader Freude
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird noch viel einfacher, wenn man weiß, dass 1/i = -i gilt.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Es wird noch viel einfacher, wenn man weiß, dass 1/i = -i gilt.


Logisch. Aber ich denke, wenn man es so (ausführlich) erklärt ist es besser zu verstehen, denn i² = -1 dürfte die bekannteste Eigenschaft sein Augenzwinkern

air
Sparta Auf diesen Beitrag antworten »

keine ahnung wie ihr das löst aber ich hab es so gemacht:
Aufgabe:


die Gleichung wird ein bischen geändert aber es bleibt eigentlich die gleiche gleichung:


Dann Teilen wir die gleichung auf:


Weil ------->
ist (zähler ist die ableitung von nenner) ergebnis erstmal:


das zweite Intagral müssn wir in form von bringen damit wir dann arctan daraus machen können.
( es gilt ja )

hier hilft ein bischen substen:



eingesetzt=
-->
-->

Ergebnis lautet


Voila !
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sparta
keine ahnung wie ihr das löst aber ich hab es so gemacht:

(...)

Voila !


Und wo ist die neue "Erkenntnis"? Du hast genau die gleiche Substitution gemacht, wie sie klarsoweit vorgeschlagen hat Augenzwinkern

EDIT: Nein, du hast sogar einen Fehler:

Zitat:
Original von Sparta
hier hilft ein bischen substen:

Sparta Auf diesen Beitrag antworten »

Wollt nur die ganze Rechnung ausführlich schreiben damit es alle auch verstehen
Sparta Auf diesen Beitrag antworten »

ach gut das wir dich haben !
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