Zeta(0)

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06.03.2005, 17:01	grumml	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeta(0) $\begin{eqnarray} \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n^{s}} \end{eqnarray}$ Ich habe für $\begin{eqnarray} s<1 \end{eqnarray}$ die Formel: $\begin{eqnarray} \zeta(1-n)=-\frac{B_n}{n} \end{eqnarray}$ wobei die ersten Bernoullizahlen so aussehen: $\begin{eqnarray} B_0=1 \\ B_1=-\frac{1}{2} \\ B_2=\frac{1}{6} \\ B_{2k+1}=0 \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} B_{2k+1}=0 \end{eqnarray}$ , ist $\begin{eqnarray} \zeta(-2n)=0 \end{eqnarray}$ , die trivialen Nullstellen der Zetafunktion. Für $\begin{eqnarray} \zeta(-1) \end{eqnarray}$ steht auf Seiten wie http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html Gleichung (70) auch der Wert, der aus der obrigen Formel entsteht: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{12} \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} \zeta(0) \end{eqnarray}$ steht allerdings auf diversen Seiten, wie auch auf der genannten(Gleichung 67) der Wert $\begin{eqnarray} \zeta(0)=-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Wenn ich in die mir gewohnte gleichung allerdings $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ einsetze, erhalte ich $\begin{eqnarray} \zeta(0)=+\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Wo ist mein Vorzeichenfehler?
06.03.2005, 18:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz einfach: Die Regel, die du anwendest, gilt halt für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ nicht (siehe den wolfram-Link).
08.03.2005, 15:24	grumml	Auf diesen Beitrag antworten »
...steht da auch ne Begründung dafür? ich finde sie nicht...
15.08.2005, 11:16	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeta(-2,0)=0 Moin,moin allerseits, Wie kommt es eigentlich, dass durch die komplexe Erweiterung der $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ -Funktion $\begin{eqnarray} \zeta(-2)=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \zeta(-4)=0 \end{eqnarray}$ , ... ist. Der Imaginäranteil ist ja jeweils immer Null. Es müsste doch eigentlich $\begin{eqnarray} \zeta(-2)= \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k^{-2}}= \sum_{k=1}^\infty k^2 = \infty \end{eqnarray}$ ..gelten. Wieso kommt da aufeinmal Null heraus? Dank & Gruß, phi.
15.08.2005, 11:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann antworte ich einmal mit einer Gegenfrage: Wie kommt es, daß bei der Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{1-x} \, , \ \ x \neq 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x=-1 \end{eqnarray}$ der Wert $\begin{eqnarray} f(-1) = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ herauskommt? Da müßte doch wegen $\begin{eqnarray} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}~x^n \end{eqnarray}$ eigentlich $\begin{eqnarray} \begin{matrix}f(-1) & = & (-1)^0 + (-1)^1 + (-1)^2 + (-1)^3 + (-1)^4 + (-1)^5 + \ldots \\ & = & 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots \\ & = & 0 + 0 + 0 + \ldots \\ & = & 0\end{matrix} \end{eqnarray}$ herauskommen.
15.08.2005, 13:01	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also streng genommen gilt für die geometrische Reihe ersteres (1/2 als Grenzwert) nicht da ein solcher Grenzwert nur für x<\|1\| gilt, und das zweite (-->0) gilt nicht da das Leibnizkriterium nur dann gilt wenn in f ein Koeffizient a_n monoton fällt. In unserem Fall ist der Koeffizient aber konstant 1 (also 1 mal 1, 1 mal -1, 1 mal 1, ...). f hat also 2 Häufungspunkte statt einem Grenzwert. Aber in K. Knopp´s Buch über unendlichen Reihen (das ich leider grade nicht parat habe) stand auch etwas wie man solch einer Reihe doch eine geschlossene Form geben kann und somit auch einen (eindeutigen?) Grenzwert. Ich weiß nur noch das das im 18. und 19. Jahrhundert ein großes Thema war ob der Grenzwert solch einer Reihe nun 0, 1/2 oder sonstwas ist. Die moderne Antwort kann ich auf diese Frage nicht geben..
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15.08.2005, 15:38	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
zu der Frage von phi: in der klassischen Summendarstellung ist die zeta-funktion nur für Werte mit Realteil > 1 definiert. In diesem Bereich ist sie dann auch holomorph. Ein klassischer Satz der Funktionentheorie besagt dann, das es genau eine holomorphe Fortsetzung dieser Funktion auf ganz IC gibt (holomorph bis auf diskrete Polstellen, genaugenommen also meromorph) Konkret ausrechnen kann man die Zetafunktion an solchen Stellen dann nur über Funktionalgleichungen, zB über die mit den Bernouillizahlen.
15.08.2005, 15:52	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja verstehe. Besteht die Verbindung zu der klassischen Reihe vielleicht darin das auch über die negativen und komplexen Zahlen summiert wird, also etwa: $\begin{eqnarray} \zeta(-2)= \sum_{k=-\infty-i \infty }^{\infty + i \infty} ~\frac{1}{k^{-2}}=0 \end{eqnarray}$ ?
15.08.2005, 16:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Art der Summation müßte erst einmal genauer erklärt werden, von Konvergenzfragen ganz zu schweigen. Eigentlich geht es doch nur um Folgendes (und darauf wollte mein Beitrag hinweisen): In eine Reihe kann man außerhalb ihres Konvergenzgebietes keine Zahlen einsetzen. Jetzt konvergiert aber $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}~n^{-s} \end{eqnarray}$ nur für $\begin{eqnarray} \Re(s)>1 \end{eqnarray}$ . Deswegen kannst du $\begin{eqnarray} s=-2 \end{eqnarray}$ von vorneherein schon gar nicht einsetzen. Das ist wie bei der geometrischen Reihe auch. Ihr Konvergenzgebiet ist eben nun einmal kleiner als das Holomorphie-Gebiet der dargestellten Funktion. So ist $\begin{eqnarray} f(z) = \frac{1}{1-z} \end{eqnarray}$ in ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \setminus \{ 1 \} \end{eqnarray}$ holomorph. Dennoch stellt die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty}~z^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ nur für $\begin{eqnarray} \|z\|<1 \end{eqnarray}$ (und eventuell weitere Werte auf dem Rand des Konvergenzkreises) dar.
15.08.2005, 16:39	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also die holomorphe Fortsetzung hat man also als etwas ganz anderes zu verstehen. Die Summation sollte tentativ i.m.h.o. andeuten das wenn man z.B. auch über Vielfache von i summiert sich alle Terme aufheben, da ja z.B i^2=-1... weil irgendetwas muss doch die fortsetzung ins komplexe auch für die zeta-Reihe bedeuten.. mfg, phi.
15.08.2005, 17:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieh einfach die Zeta-Funktion als in ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \setminus \{ 1 \} \end{eqnarray}$ gegebene holomorphe Funktion mit gewissen Eigenschaften an, unter anderem der, daß sie sich in $\begin{eqnarray} \Re(s)>1 \end{eqnarray}$ durch die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty}~n^{-s} \end{eqnarray}$ darstellen läßt. Betrachte also nicht die Reihe als Definition der Zeta-Funktion, sondern nur als eine Darstellungsmöglichkeit dieser Funktion für gewisse $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ . Mehr dazu gibt es bei Wikipedia oder Mathworld.wolfram.com.
15.08.2005, 17:15	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, danke!

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