Ab- bzw. Aufrunden

03.09.2007, 20:30

PG

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Ab- bzw. Aufrunden

Hi

Ich habe eine Aufgabe, in den ich berechnen soll, wie viele schwarze Kugeln s(Rest ist weiß) in einer Urne von 25 kugeln liegen müssen, um eine Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} \frac{2}{25} \end{eqnarray*}$ (bei zweimaligen Ziehen ohne Zurücklegen)zu erhalten bezogen darauf, dass die beiden gezogenen Kugeln unterschiedliche Farben haben( Also schwarz und weiß)

Ich habe nun Ergebnisse.
$\begin{eqnarray*} s_1=23,48 \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} s_2=1,02 \end{eqnarray*}$
Also so viele schwarze Kugeln müssen in der Urne liegen. Aber das Problem ist, ob ich die Werte auf oder abrunden soll, da es keine verständlicherweise keine halben Kugeln gibt.
Wann muss ich aufrunden oder abrunden?
Wäre das Ergebnis
"Entweder 24 Schwarze oder 2 schwarze Kugeln" oder "23 schwarze Kugeln oder 1 schwarze Kugel"?

03.09.2007, 20:42

WebFritzi

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Hat euch der Lehrer gesagt, ihr sollt runden?

03.09.2007, 20:46

PG

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Er hat nichts gesagt, aber ich weiß nicht, wann man in Wahrscheinlichkeitsrechnung ab und aufrunden soll.
Kannst du mir da nicht weiterhelfen, damit wir beide damit fertig sind Lehrer

Lehrer

?

03.09.2007, 20:50

WebFritzi

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Zitat:

Original von PG
Er hat nichts gesagt

Dann ist die Aufgabe nicht lösbar, denn (falls du richtig gerechnet hast) für keine Anzahl schwarzer Kugeln ergibt sich die Wahrscheinlichkeit 2/25 für das Ereignis.

03.09.2007, 20:53

PG

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Nein das kann nicht sein.
Also du kannst die Rechnung nochmal nachprüfen, aber sie müsste richtig sein.
Wie meinst du, dass sie nicht lösbar ist? Wir haben da doch Ergebnisse stehen. Nur wie muss ich sie runden, damit das Ereignis erfüllt ist(also zwei mal ziehen und dabei 1 mal schwarz und einmal weiße Kugel)?

03.09.2007, 20:55

WebFritzi

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Zitat:

Original von PG
Nein das kann nicht sein.
Also du kannst die Rechnung nochmal nachprüfen, aber sie müsste richtig sein.

Ich habe keine Lust zu rechnen. Wie gesagt: wenn du richtig gerechnet hast, dann hat die Aufgabe keine Lösung. Es tut mir leid.

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03.09.2007, 21:04

tigerbine

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PG, zeig mal deinen Rechenweg.

03.09.2007, 21:13

PG

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ok.
Lösungsweg ist:
$\begin{eqnarray*} P(Kugeln ~haben ~beim~ zweimaligen ~Ziehen~ verschiedene ~Farbe)=\frac{2}{25} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{2s^2}{24\cdot 25}+\frac{s}{25}+\frac{s}{24}=\frac{2}{25} \end{eqnarray*}$

Halt eine quadratische Funktion. Wenn ihr das nicht rechnen wollt, dann stellt nach 0 um und gibt im Plotter; Nullstellen sind Lösungen.

Mir geht es bloß darum, wann ich weiß, ob ich auf oder abrunden soll. Ich merke an einigen Beispielen, dass es von den Kommastellen unabhängig ist... Darum geht es mir bloß...

03.09.2007, 21:19

WebFritzi

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Ich verstehe deine linke Seite nicht. Wenn s die Anzahl der schwarzen Kugeln ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, bei zweimaligem Ziehen zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen (gesetzt den Fall, alle anderen Kugeln sind beispielsweise weiß (w = 25 - s)):

w/25 * s/24 + s/25 * w/25 = sw/(24*25) = 2s(25-s) / (24*25).

03.09.2007, 21:22

tigerbine

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Ich habe es bereits gerechnet. Solltest Du meiner Antwort auch entnehmen. Diese Blumen gehen an den AS Big Laugh

Big Laugh

Deinen Ansatz verstehe ich nicht. Sei k die Anzahl der schwarzen Kugelnk 0 < k < 25. Dann gibt es 2 Ereignisse zu betrachten:

$\begin{eqnarray*} P(sw) = \frac{k}{25} \cdot \frac{25-k}{24} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(ws) = \frac{25-k}{25} \cdot \frac{k}{24} \end{eqnarray*}$

Insgesamt also

$\begin{eqnarray*} \frac{ 2 \cdot k (25-k)}{25 \cdot 24} \stackrel{!} = \frac{2}{25} \end{eqnarray*}$

03.09.2007, 21:23

WebFritzi

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Schön, dass wir beide das gleiche raushaben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.09.2007, 21:25

PG

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Da muss s hin Hammer

Hammer

sry

Also das habe ich schon zusammengerechnet.

Normalerweise lautet es so:

$\begin{eqnarray*} \frac{s}{25}\cdot(1-\frac{s}{24})+(1-\frac{s}{25})\cdot\frac{s}{24}=\frac{2}{25} \end{eqnarray*}$

Das war aber viel länger... Nun Nullstellen und dann habt ihr es... Mir geht es doch um das Runden...

03.09.2007, 21:26

WebFritzi

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Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} \frac{s}{25}\cdot(1-\frac{s}{24})+(1-\frac{s}{25})\cdot\frac{s}{24}=\frac{2}{25} \end{eqnarray*}$

Liest du auch das, was FÜR DICH geschrieben wird?

03.09.2007, 21:33

PG

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Du hättest den Zeitpunkt der Absendung meines Post sehen müssen, bevor du dich aufregst... Ich brauch doch auch viel zeit beim Verwenden von LateX...
Ich habe es übrigens vor 3 min gesehen und bedanke mich auch.
Wink

Wink

03.09.2007, 22:10

PG

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ich habe noch eine:

Wie muss s gewählt werden, wenn wir mit einer Wahrscheinlíchkeit von 2/3 2 gleichfarbige haben wollen?

da habe ich folgende Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}=\frac{s^2}{24\cdot25}+(1-\frac{s}{25})\cdot(1-\frac{s}{24}) \end{eqnarray*}$

Stimmt diese Gleichung?
Das wäre die andere Alternative, die ich mir überlegt habe.
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}=\frac{s^2}{24\cdot25}+(1-\frac{s}{25})\cdot(\frac{25}{24}-\frac{s}{24}) \end{eqnarray*}$

Welche ist richtig? Bei beiden erhalten wir nicht natürliche Zahlen.

03.09.2007, 22:15

tigerbine

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Wie oft wird gezogen? Mit oder ohne zürucklegen?

03.09.2007, 22:18

PG

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2 Mal wird gezogen und ohne zurücklegen.

03.09.2007, 22:35

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} P(ss) = \frac{s}{25} \cdot \frac{s-1}{24} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(ww) =\frac{25-s}{25} \cdot \frac{24-s}{24} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{s(s-1) + (25-s)(24-s)}{25\cdot 24} \stackrel{!} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{s^2-s -25 \cdot 24 + 49s - s^2}{25 \cdot 24} \stackrel{!} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{ 48s -25 \cdot 24 }{25 \cdot 24} \stackrel{!} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Keine ganzzahlige Lösung.

03.09.2007, 22:38

PG

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wir erhalten $\begin{eqnarray*} s=20,833 \end{eqnarray*}$

Und das heißt? jetzt kommen wir dem Problem Runden näher!

03.09.2007, 22:40

tigerbine

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D.h., dass es keine solche Kugelkonstellation zu der "exakt geforderten WS" gibt.

Da es symmetrisch ist, rechne doch mal die WS für s=2 ... 13 aus.

03.09.2007, 22:47

PG

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Also für s von 2 bis 12 erhalten wir "negative Wahrscheinlichkeiten" und a 13 werden die Wahrscheinlichkeiten positiv.

Was willst du mir damit sagen?

03.09.2007, 22:53

tigerbine

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Da kommen keine negativen WS raus. Was rechnest Du denn?

$\begin{eqnarray*} P_s(ss \wedge ww) =\frac{s(s-1) + (25-s)(24-s)}{25\cdot 24} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_2(ss \wedge ww) = \frac{2\cdot 1 + 23 \cdot 22}{600} = \frac{508}{600} \approx 0.8467 \end{eqnarray*}$

03.09.2007, 23:01

PG

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Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} \frac{ 48s -25 \cdot 24 }{25 \cdot 24} \stackrel{!} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Ich habe das s einfach im linken Term eingesetzt. Das hast du vorhin ausgerechnet(s.o.)

Aber was willst du mir mit dem Einsetzen dieser Werte sagen? Wegen der Symmetrie?

edit: Deine Gleichung (im Zitat) ist falsch. Ich habe ganzzahlige Lösungen erhalten( und deswegen hatte ich negative Werte)
$\begin{eqnarray*} s_2=20 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_1=5 \end{eqnarray*}$

Danke für Hilfe Big Laugh

Big Laugh

03.09.2007, 23:10

tigerbine

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Ja, da hab ich dann wohl einen Rechenfehler gemacht. Da hat sich ein Minus eingeschlichen Teufel

Teufel

Bis hierhin war noch alles in Ordnung.

$\begin{eqnarray*} \frac{s(s-1) + (25-s)(24-s)}{25\cdot 24} \stackrel{!} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Dann kam der Fehler. Also neu.

$\begin{eqnarray*} \frac{s^2-s +25 \cdot 24 - 49s + s^2}{25 \cdot 24} \stackrel{!} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2s^2-50s +600}{600} \stackrel{!} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \cdot \frac{s^2-25s +300}{200} \stackrel{!} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s^2-25s+100=0 \end{eqnarray*}$

03.09.2007, 23:11

PG

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Siehe edit oben

edit: Danke für die Hilfe(n) Wink

Wink

04.09.2007, 01:36

WebFritzi

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Das neue Ereignis ist einfach das Gegenereignis des ersten. Da wir für's erste die Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} \frac{2s(25-s)}{25\cdot 24} \end{eqnarray*}$

errechnet hatten, ist die hiesige Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} \frac{25\cdot 24 - 2s(25-s)}{25\cdot 24}. \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.09.2007, 15:03

PG

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Stimmt

geschockt

LOL Hammer

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