Arithmetische u. geometrische folgen

06.03.2005, 21:33

Scotty

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Arithmetische u. geometrische folgen

Hey Leute !
Meine grauen Zellen bewegen sich auf Neuland und könnte gute
Grundlageninfos brauchen. Wer gibt mir Nachhilfe?

Die Summe des 1. u. 3. Gliedes einer GF ist 75. Das Produkt der beiden Glieder ist 1296. Bestimmen sie das Bildungsgesetz der Folge.

Über ausführliche Hilfe würde ich mich freuen. Vielleicht kann ich meinem Sohn dann ein wenig helfen.

06.03.2005, 21:46

kikira

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RE: Arithmetische u. geometrische folgen

Zitat:

Original von Scotty
Hey Leute !
Meine grauen Zellen bewegen sich auf Neuland und könnte gute
Grundlageninfos brauchen. Wer gibt mir Nachhilfe?

Die Summe des 1. u. 3. Gliedes einer GF ist 75. Das Produkt der beiden Glieder ist 1296. Bestimmen sie das Bildungsgesetz der Folge.

Über ausführliche Hilfe würde ich mich freuen. Vielleicht kann ich meinem Sohn dann ein wenig helfen.

1. Gleichung: b1 + b3 = 75
2. Gleichung: b1 * b3 = 1296

Eine Unbekannte aus einer Gleichung ausdrücken und in die andere Gleichung dafür einsetzen.
Dann bekommst die Unbekannte raus und kannst zurückeinsetzen und kriegst die 2. Unbekannte raus.

Somit weißt du dann das 1. und das 3. Folgeglied.

Eine geometrische Folge ist z.b.

< 2; 4; 8; 16; 32; usw....>

Das heißt, der Sprung zwischen einem Folgeglied und dem nächsten ist immer: * 2

Diesen Sprung bezeichnet man mit q.

Nun kannst dir denken:

b1 * q = b2
b1 * q * q = b3
b1 * q * q * q = b4

das heißt:
Für das 4. Folgeglied gilt z.b.:

$\begin{eqnarray*} b_4 = b_1 * q^{4 - 1} \end{eqnarray*}$

oder allgemein gesagt:

$\begin{eqnarray*} b_n = b_1 * q^{n - 1} \end{eqnarray*}$

Das heißt, du brauchst nur dein 1. Folgeglied und dein 3. Folgeglied in diese Formel einsetzen und kannst dir q berechnen.
Und somit kannst dann alle Folgeglieder bekannt geben.

Noch was:

Wenn du z.b. das 5. Folgeglied weißt und das 8. Folgeglied, dann musst du folgende Formel aufstellen:

$\begin{eqnarray*} b_8 = b_5 * q^{8 - 5} \end{eqnarray*}$

lg kiki

07.03.2005, 19:25

Scotty

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Hallo kiki!
Danke für die Einführung. würde dir gern einen Lösungsansatz vorschlagen.
1. Gleichung
$\begin{eqnarray*} b_1+b_3=75\\b_1+b_1 \cdot q^{3-1}\\ \end{eqnarray*}$
2. Gleichung:
$\begin{eqnarray*} b_1 \cdot b_3=1296\\b_1\cdot (b_1\cdot q^{3-1})=1296 \end{eqnarray*}$
Ich glaube ich muß noch einige Stunden vor dem Rechner verbringen,
um auch mit dem Formeleditor arbeiten zu können.
Ich hoffe es geht dir nicht zu langsam?
$\begin{eqnarray*} b_1+b_1 \cdot q^{3-1}=75\\b_1 \cdot q^{3-1}=75-b_1\\q^2=\frac{75-b_1}{b_1}\\q=\sqrt{\frac{75-b_1}{b_1}} \end{eqnarray*}$
Bin ich hier noch auf dem richtigen Weg oder schon einen Brüller wert?
Ist mir noch zu helfen, oder...?

EDIT: Latex-Code verbessert. Gruß, therisen

07.03.2005, 19:53

AD

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Du irrst ein wenig ziellos durch die Gegend - du willst doch $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ bestimmen, oder?

Ich fasse nochmal deine beiden Gleichungen zusammen:

$\begin{eqnarray*} b_1(1+q^2)=75\\b_1^2\cdot q^2=1296 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du eine Gleichung (egal welche) nach $\begin{eqnarray*} q^2 \end{eqnarray*}$ umstellen und in die andere einsetzen.

EDIT: Entschuldigung, war schon richtig oben. Das Wurzelziehen war allerdings gar nicht mehr nötig.

07.03.2005, 19:56

Sciencefreak

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Warum macht man es sich so schwer? Man kann doch erst die beiden Zahlen ausrechnen und dann weitermachen, so wie ich das im anderen Thread gemeint habe

07.03.2005, 20:00

AD

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Zitat:

Original von Sciencefreak
Man kann doch erst die beiden Zahlen ausrechnen und dann weitermachen, so wie ich das im anderen Thread gemeint habe

Das ist sicher richtig, und so hätte ich es auch angefangen. Aber bei der nächsten derartigen Aufgabe ist vielleicht b1+b3 sowie b1*b2 gegeben, und da funktioniert diese "Abkürzung" nicht meht. Und für Scotty sind "sichere" Methoden wohl besser als "elegante".

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07.03.2005, 20:10

kikira

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Da hat Arthur völlig Recht. Normalerweise werden die Angaben nicht so "einfach" gegeben.
Daher passt das schon so, wie Scotty das aufgestellt hat.

@Scotty

Du hast dir 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten geschaffen.
Die Methode, das auszurechnen ist unter anderem folgende:

aus einer Gleichung eine Unbekannte ausdrücken und in die andere einsetzen.
In deinem Fall:

Aus einer Gleichung q² ausdrücken und für q² in die andere Gleichung einsetzen. Dann hast du eine Gleichung, in der nur noch b1 vorkommt und kannst daher b1 dann berechnen.
Zurückeinsetzen liefert dann q.

lg kiki

07.03.2005, 21:01

Scotty

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Dank für die Gedult!
Ich bin da etwas behäbig aber wenn ich es gefressen habe dann bleibt es auch sitzen.
Ich schau mal wie es weiter geht.
@ thiresen: wo war der Latex fehler und wie macht man das richtig!

$\begin{eqnarray*} b_1\times (b_1\times q^2)=1296 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1\times (b_1\times \frac{75-b_1}{b_1}=1296 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1(75-b_1)=1296 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 75b_1 - b_1^2=1296 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1^2 - 75b_1+ 1296=0 \end{eqnarray*}$

Wie sieht es bis jetzt aus? Bin für alternativen immer zu haben.
Hatte jetzt an die p q - Formel gedacht, muß aber sagen das die nicht mehr so sattelfest rüber kommt!

07.03.2005, 21:13

kikira

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Du bist auf die richtige Gleichung gekommen.

p-q-Formel funktioniert so:

x² + px + q = 0

x1,2 = -p/2 +/- Wurzel aus[ (-p/2)² - q ]

lg kiki

07.03.2005, 21:15

Sciencefreak

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Versuch mal jede Zeile extra in

code:
1:	[latex] ..[/latex]

zu schreiben und dazwischen kein Enter zu benutzen
@kikira Big Laugh

Big Laugh

u könntest ja auch mal anfangen Latex zu benutzen. Das sieht auf jeden Fall besser aus und man kann auch besser die Sachen nachvollziehen

08.03.2005, 21:06

Scotty

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Da bin ich wieder und geb mal was zum besten:
$\begin{eqnarray*} b_1,_2=- \frac{75}{2} \pm \sqrt{(-\frac{75}{2})^2 - 1296} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1,_2=37,5 \pm 10,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1=48 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_2=27 \end{eqnarray*}$
Wenn ich diese Werte nun zum errechnen für q nutze bekomme ich
1,33 bzw. 0,75 heraus. Dann lautet das Bildungsgesetz also :
$\begin{eqnarray*} b_n=27\times 1,33^{n-1} \end{eqnarray*}$ bzw.
$\begin{eqnarray*} b_n=48\times 0,75^{n-1} \end{eqnarray*}$

Wäre das o. k. als Lösung?

08.03.2005, 21:19

AD

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Wenn du $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} 1,33 \end{eqnarray*}$ schreibst, dann stimmt die erste Gleichung:

$\begin{eqnarray*} b_n=27\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$ .

Die zweite Gleichung solltest du aber nochmal korrigieren! (48 statt 27)

08.03.2005, 21:21

Sciencefreak

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Bei einer deiner Gleichungen unten muss es auf jeden Fall heißen 48 anstatt 27. Den Rest habe ich jetzt noch nicht kontrolliert.
Das andere war nicht böse gemeint, und das sage ich jetzt nicht nur weil heute Frauentag ist. Aber ich bin denoch der Meinung, dass es das Verständnis fördern würde, wenn sie den Formeleditor benutze würde. Denn wir wollten ja irgendwann etwas von Gleichberechtigung haben und wenn die Frauen hier im Board das so gut lesen können, dann sind die Männer doch benachteiligt. Aber ich glaube das passt hier nicht zum Frauentag.

08.03.2005, 21:45

Scotty

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Habe leider keine Probe gemachtz aber die 1,33 kommt echt nicht hin.
Also sollte man bei diesen Aufgaben immer einen Bruch vorziehen?

Danke für den Tip mit der 48. Habe den Beitrag schon editiert.

08.03.2005, 21:55

kikira

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Zitat:

Original von Sciencefreak
Bei einer deiner Gleichungen unten muss es auf jeden Fall heißen 48 anstatt 27. Den Rest habe ich jetzt noch nicht kontrolliert.
Das andere war nicht böse gemeint, und das sage ich jetzt nicht nur weil heute Frauentag ist. Aber ich bin denoch der Meinung, dass es das Verständnis fördern würde, wenn sie den Formeleditor benutze würde. Denn wir wollten ja irgendwann etwas von Gleichberechtigung haben und wenn die Frauen hier im Board das so gut lesen können, dann sind die Männer doch benachteiligt. Aber ich glaube das passt hier nicht zum Frauentag.

Redest du mich da grad mit dem friderizianischen "sie" an, hihi?
Und ach - hör mir doch auf mit dem blöden Frauentag. Der betrifft mich sowieso nicht - so als Mädel. Big Laugh

Big Laugh

Außerdem bin ich wegen sowas nicht bös. Ich vertrag schon was - ich teil ja auch gehörig aus.
Im übrigen mag ich den Formeleditor nicht und verwend ihn nur, wenn ich das Gefühl hab, dass es sonst zu unübersichtlich ist. Und dieses Gefühl hab ich leider gaaaaanz selten.

lg kiki

09.03.2005, 16:32

Sciencefreak

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Und cich bin irgendwie etwas dumm, was heißt denn friderizianisch? Ich habe das Wort meiner Meinung nach noch nie gehört und würde es maximal irgendwie in irgendwelche vergangen Zeiten als Epochenbeschreibung(wahrscheinlich Kunst oder so etwas) einordnen, was garantiert falsch ist.
Und ich kann dich nicht verstehen. Warum benutzt du den Formeleditor wenn es dir nicht gefällt? So viele Beiträge wie du schon geschrieben hast, da dürtest du doch langsam wissen, wie man bestimmte Sachen schreibt und dann ist es ersten kürzer und zweitens kann man es besser lesen.

09.03.2005, 17:27

kikira

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Zitat:

Original von Sciencefreak
Und cich bin irgendwie etwas dumm, was heißt denn friderizianisch? Ich habe das Wort meiner Meinung nach noch nie gehört und würde es maximal irgendwie in irgendwelche vergangen Zeiten als Epochenbeschreibung(wahrscheinlich Kunst oder so etwas) einordnen, was garantiert falsch ist.
Und ich kann dich nicht verstehen. Warum benutzt du den Formeleditor wenn es dir nicht gefällt? So viele Beiträge wie du schon geschrieben hast, da dürtest du doch langsam wissen, wie man bestimmte Sachen schreibt und dann ist es ersten kürzer und zweitens kann man es besser lesen.

Friderizianisch bezieht sich auf König Friedrich II von Preußen (den alten Fritz - EUER König) und in dieser Zeit sprach der Adel die Dienerschaft nicht mit "du" oder "Sie" an, sondern mit "er" und "sie".
z.b.: "Hol er mir den Leuchter" oder "Nehme sie den Teller hinfort".
Und weil du mich mit "sie" bezeichnet hast, hat mich das stark daran erinnert.

@Formeleditor
Ich benutze den Formeleditor, wenn ich das Gefühl habe, dass es für die Übersichtlichkeit unerlässlich ist, aber ich hab niemals gesagt, dass ich nicht wüsste, wie man damit umgeht. Da ich ja schon einige Beiträge mit Formeleditor geschrieben habe, ist es wohl doch ersichtlich, dass ich weiß, wie man damit umgeht. Ich geh eben nur nicht gern mit ihm um. Das ist ein Unterschied.

lg kiki

09.03.2005, 17:42

Sciencefreak

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Tut mir Leid, dass ich es so verstanden hast mit dem sie, aber ich habe eigentlich auf einen Betrag davor geantworet in dem stand, dass ich dich nicht so kritisieren soll. Und wenn ich die Antwort ja gewissermassen an den richte, der das geschrieben hat, dann muss man doch sie nehmen. Oder was würdest du sagen, wenn du über jemanden erzählst, aber diesen nicht direkt ansprichst?

09.03.2005, 19:15

kikira

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Hihi, macht ja nix, ich sag ja, wegen sowas bin ich doch nicht bös. Aber wer hat dich denn kritisiert, dass du mich kritisiert hast?
Kann nämlich nicht erkennen, wer das gewesen sein soll.

lg kiki

09.03.2005, 19:48

Sciencefreak

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Das war Scotty, aber er hat es wegeditiert.

09.03.2005, 21:36

Scotty

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Hey Leute!
Sorry für das wegeditieren. Sollte aber auch keine Kritik sein, sondern nur der hinweis darauf das man manches einfach genießen sollte aber man nicht immer über alles reden muß.

@ euch
hättet ihr noch lust mir bei einer weiteren Aufgabe zu helfen?
SSohn schreibt Freitag eine Mathearbeit und hat seine Aufgaben nicht
gemacht. Also würde ich ihm gerne helfen, so wie ihr mir.

Folgende Aufgabenstellung:
Die Summe des 3. und 7. Gliedes ist 8, das Produkt des 5. und 9. Gliedes ist 64. Bestimmen sie das Bildungsgesetz der AF.(aus eineer Anmerkung zu einer anderen Aufgabe ist zu entnehmen das a_1=9 ist).

Starte mal einen Ansatz:
$\begin{eqnarray*} a_n=a_1+(n-1)\times d \end{eqnarray*}$
da ich a_1 habe versuche ich nun d zu errechnen
$\begin{eqnarray*} a_3+a_7=8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1+ (3-1)\times d+a_1+(7-1)\times d=8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2a_1+8d=8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 8d=8-2a_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d= \frac{8-2a_1}{8} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d=- \frac{10}{8} \end{eqnarray*}$
das Bildungsgesetz würde dann lauten:
$\begin{eqnarray*} a_n=9+(n-1)\times - \frac{10}{8} \end{eqnarray*}$
was meint ihr!

09.03.2005, 22:05

kikira

Auf diesen Beitrag antworten »

Jaja...poste nur! Vielleicht können wir dir ja helfen.
Und wegen der Kritik - ist doch völlig egal. Hier herrscht Meinungsfreiheit! - Hoff ich wenigstens, hihi.

lg kiki

09.03.2005, 22:35

Scotty

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab da gerade mal die Werte für die Summe errechnet, das Passt.
Das Produkt stimmt aber überhaupt nicht.

traurig

traurig

09.03.2005, 22:55

kikira

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Scotty
Hey Leute!
Sorry für das wegeditieren. Sollte aber auch keine Kritik sein, sondern nur der hinweis darauf das man manches einfach genießen sollte aber man nicht immer über alles reden muß.

@ euch
hättet ihr noch lust mir bei einer weiteren Aufgabe zu helfen?
SSohn schreibt Freitag eine Mathearbeit und hat seine Aufgaben nicht
gemacht. Also würde ich ihm gerne helfen, so wie ihr mir.

Folgende Aufgabenstellung:
Die Summe des 3. und 7. Gliedes ist 8, das Produkt des 5. und 9. Gliedes ist 64. Bestimmen sie das Bildungsgesetz der AF.(aus eineer Anmerkung zu einer anderen Aufgabe ist zu entnehmen das a_1=9 ist).

Starte mal einen Ansatz:
$\begin{eqnarray*} a_n=a_1+(n-1)\times d \end{eqnarray*}$
da ich a_1 habe versuche ich nun d zu errechnen
$\begin{eqnarray*} a_3+a_7=8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1+ (3-1)\times d+a_1+(7-1)\times d=8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2a_1+8d=8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 8d=8-2a_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d= \frac{8-2a_1}{8} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d=- \frac{10}{8} \end{eqnarray*}$
das Bildungsgesetz würde dann lauten:
$\begin{eqnarray*} a_n=9+(n-1)\times - \frac{10}{8} \end{eqnarray*}$
was meint ihr!

Nur weil du aus irgendeiner Anmerkung erfahren hast, dass a1= 9 ist, kannst du das doch nicht als gegeben voraussetzen.
Vor allem stimmt es nicht, dass a1 = 9.
Was machst du, wenn du dann eine Aufgabe lösen musst, wenn du keine Anmerkung dazu kriegst?

Deine Zeile:

2a1 + 8d = 8
a1 + 4d = 4

a1 = 4 - 4d

Nun setzt du das in a5 ein und bekommst:

a5 = a1 + 4d
a5 = 4 - 4d + 4d
a5 = 4

Nun setzt du das in die Gleichung:

a5 * a9 = 64
ein.

4 * (a1 + 8d) = 64
4 * (4 - 4d + 8d) = 64

Den Rest kannst selber.
Vor allem kannst das dann überprüfen und siehst, dass es stimmen muss.

lg kiki

09.03.2005, 23:06

Scotty

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Alter schützt vor Torheit nicht, aber wozu steht der Vermerk im Text der Aufgabe wenn er nicht einmal stimmt!
ist doch reichlich blöde - oder?
Aber danke für deine schnelle Hilfe. Freude

Freude

Ich könnte dich Mit Zunge

Mit Zunge

09.03.2005, 23:27

kikira

Auf diesen Beitrag antworten »

bitte bitte....gern geschehen!

lg kiki

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