Beweis der Fibonacci-Folge mittels vollständiger Induktion

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Julia3356 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Fibonacci-Folge mittels vollständiger Induktion
Hi! Ich bräuchte mal ein paar Tipps zu der Aufgabe:

Für die Folgeglieder der Fibonacci-Folge () gilt:
Betrag von (keine Ahnung wie man die Betragsstriche mit Latex hinkriegt unglücklich )

Ich bin bis jetzt so weit:

Annahme: Betrag von

I.A. Die Behauptung gilt für n=1:
Betrag von

Das gilt ja, also käme jetzt ja eigentlich der Induktionsschluss, in dem ich beweise, dass es auch für n+1 gilt. Da ist allerdings mein Problem: Setze ich dieses n+1 einfach für das n ein, also Betrag von ?

Und, wenn es so ist, wie mache ich das dann mit I.V.? Wir haben das nämlich nur mit diesem Sigma gelernt.

Bitte gebt mir mal einen Tipp! Hilfe

Vielen Dank schonmal! smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Fibonacci-Folge mittels vollständiger Induktion
Im Induktionsschritt willst du |f(n+2)*f(n) - f(n+1)*f(n+1)|=1 nachweisen.

Als Tipp, der zum Ziel führt: Setze die Fibonacci-Rekursion ein, aber nur an den von mir
im folgenden rot gekennzeichneten Stellen:

f(n+2)*f(n) - f(n+1)*f(n+1) = ...
 
 
Julia3356 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Fibonacci-Folge mittels vollständiger Induktion
Zitat:
Original von Arthur Dent
Als Tipp, der zum Ziel führt: Setze die Fibonacci-Rekursion ein...


Blöde Frage, aber was ist die Fibonacci-Rekursion? verwirrt

PS: Vielen Dank für die Hilfe! Gott
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Fibonacci-Folge mittels vollständiger Induktion
Na einfach wie die Folge definiert ist, also

f(n+2) = f(n+1) + f(n)
f(n+1) = f(n) + f(n-1)
Julia3356 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Fibonacci-Folge mittels vollständiger Induktion
Achso ok!
Vielen Dank nochmal für die Hilfe! smile
Julia3356 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Fibonacci-Folge mittels vollständiger Induktion
Ich bins schon wieder *g*

Ich hab diese Fibonacci-Rekursion jetzt eingesetzt, also hab ich jetzt da stehn

Ist das so richtig?

Außerdem ist mir jetzt noch nicht ganz klar, was ich damit anfangen soll. verwirrt
Setzte ich das jetzt mit dem gleich oder wie läuft das? Ich muss ja zwei Terme gleichsetzen, um am Ende auf beiden Seiten das gleiche stehen zu haben, oder?
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Fibonacci-Folge mittels vollständiger Induktion
Ich möchte mal wissen, wieso ich mir so eine Mühe mit den Farben gegeben habe! böse

Zitat:
Original von Arthur Dent
f(n+2)*f(n) - f(n+1)*f(n+1) = ...

Ich habe nicht geschrieben:

f(n+2)*f(n) - f(n+1)*f(n+1) =

So hast du es aber umgesetzt! böse
Julia3356 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Fibonacci-Folge mittels vollständiger Induktion
Achsooooooo!!! Sorry! Hammer

Zitat:
Original von Julia3356
Außerdem ist mir jetzt noch nicht ganz klar, was ich damit anfangen soll.


Das Problem besteht leider immer noch unglücklich
AD Auf diesen Beitrag antworten »

f(n+2)*f(n) - f(n+1)*f(n+1) = (f(n+1)+f(n))*f(n) - (f(n)+f(n-1))*f(n+1)
= f(n+1)*f(n) + f(n)*f(n) - f(n)*f(n+1) - f(n-1)*f(n+1) = -(f(n-1)*f(n+1)-(f(n))²)

Macht's jetzt wenigstens "Klick" (denk an die Induktionsvoraussetzung) ?
pimaniac Auf diesen Beitrag antworten »

Machs mit Hilfe der Matrizenschreibweise

Definier mal folgendes:





Jetzt kann man ganz leicht (mit vollständiger Induktion) folgendes zeigen:





nun nimm auf beiden Seiten die Determinante und vergiss nicht dass





gilt.

Bei fragen, frag einfach
Julia3356 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
f(n+2)*f(n) - f(n+1)*f(n+1) = (f(n+1)+f(n))*f(n) - (f(n)+f(n-1))*f(n+1)
= f(n+1)*f(n) + f(n)*f(n) - f(n)*f(n+1) - f(n-1)*f(n+1) = -(f(n-1)*f(n+1)-(f(n))²)


Jaaaaaaaaaaaaaaaa!!!!!! Es hat grad "Klick" gemacht!!! Tanzen
Aber was für'n "Klick"!!! Augenzwinkern

Daaankeee!!! Gott Gott

Zitat:
Original von pimaniac
Machs mit Hilfe der Matrizenschreibweise

Definier mal folgendes:





Jetzt kann man ganz leicht (mit vollständiger Induktion) folgendes zeigen:





nun nimm auf beiden Seiten die Determinante und vergiss nicht dass





gilt.

Bei fragen, frag einfach


Das könnte schiefgehen, wir hatten das nämlich noch nicht in der Schule! Augenzwinkern

edit: Doppelpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion! (MSS)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Julia3356
Das könnte schiefgehen, wir hatten das nämlich noch nicht in der Schule!

Das hatte ich auch befürchtet. Aber es ist sicher der ästhetisch elegantere Weg. Augenzwinkern
Julia3356 Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, hab ich wohl Pech gehabt Augenzwinkern
Naja, ich vermute, das kommt in der 12 noch dran... oder 13!? smile
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