Hässliches Gleichungssystem

07.03.2005, 15:51	sterngucker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hässliches Gleichungssystem Hallo Leute, Ich habe ein hässliches GLS zu lösen: I $\begin{eqnarray} {x_1}^2 + {y_1}^2 = c_1 \end{eqnarray}$ II $\begin{eqnarray} (x_1 + z_1)^2 + {y_1}^2 = c_2 \end{eqnarray}$ III $\begin{eqnarray} (y_1 + z_2)^2 + {x_1}^2 = c_3 \end{eqnarray}$ IV $\begin{eqnarray} {x_2}^2 + {y_2}^2 = c_4 \end{eqnarray}$ V $\begin{eqnarray} (x_2 + z_1)^2 + {y_2}^2 = c_5 \end{eqnarray}$ VI $\begin{eqnarray} (y_2 + z_2)^2 + {x_2}^2 = c_6 \end{eqnarray}$ suche: $\begin{eqnarray} x_1 , y_1, x_2, y_2, z_1, z_2 \end{eqnarray}$ Wie geht man das an ? Gruss, Sterngucker
07.03.2005, 16:51	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hässliches Gleichungssystem Durch Subtraktion II-I kriegst du x1 als Funktion von z1. Durch Subtraktion III-I kriegst du y1 als Funktion von z2. Durch Subtraktion V-IV kriegst du x2 als Funktion von z1. Durch Subtraktion VI-IV kriegst du y2 als Funktion von z2. Das alles sowohl in I als auch IV eingesetzt kriegst du zwei Gleichungen für die zwei Variablen z1, z2. Mach das erstmal, dann sehen wir weiter.
07.03.2005, 17:01	sterngucker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hässliches Gleichungssystem Sieht gut aus. Hatte befürchtet das wird schlimmer. Acker mich mal durch, Danke. Sterngucker
08.03.2005, 09:46	sterngucker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hässliches Gleichungssystem Hallo Arthur Dent, toll, jetzt hab ich zwei verschachtelte quadratische Gleichungen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} {z_1}^2 + d_1 + {d_1}^2 \frac{1}{ {z_1}^2 } + \frac{1}{4} {z_2}^2 + d_2 + {d_2}^2 \frac{1}{ {z_2}^2 } = c_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} {z_1}^2 + d_3 + {d_3}^2 \frac{1}{ {z_1}^2 } + \frac{1}{4} {z_2}^2 + d_4 + {d_4}^2 \frac{1}{ {z_2}^2 } = c_4 \end{eqnarray}$ suche $\begin{eqnarray} z_1, z_2 \end{eqnarray}$ Wie weiter ? sterngucker
08.03.2005, 10:05	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hässliches Gleichungssystem Sieht besser aus, als ich erwartet hätte! Die z's kommen nur in quadratischer Form vor, also kannst du schon erstmal substituieren: $\begin{eqnarray} t_1:=z_1^2,\;t_2:=z_2^2 \end{eqnarray}$ . Und wenn du jetzt noch diese Gleichungen voneinander subtrahierst, kannst du $\begin{eqnarray} t_2 \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ darstellen (ohne Wurzeln ziehen zu müssen) und in die andere Gleichung einsetzen. Dann natürlich dieses $\begin{eqnarray} t_2 \end{eqnarray}$ in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Wenn ich mich nicht irre, kommt dann am Ende eine quadratische Gleichung für $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ heraus. P.S.: Sicher steckt irgend eine geometrische Fragestellung dahinter, oder? Sieht aus wie der Durchschnitt irgendwelcher Zylinder, o.ä.
08.03.2005, 14:01	sterngucker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hässliches Gleichungssystem Leider nicht. Was ich auch versuche, es kommt eine kubische Gleichung raus. Hast Du eine Idee was ich falsch mache ? In der tat, es ist ein geometrisches Problem. Es sollen verschiedene Entfernungen gemessen werden. Und deshalb sollten auch zwei Lösungen und nicht drei rauskommen.. Gruss, sterngucker
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08.03.2005, 16:50	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hässliches Gleichungssystem Nein, kubische Gleichung ist schon richtig (da habe ich oben wohl zu früh gefeiert). Vielleicht gibt es aus deinem Ursprungsproblem heraus auch noch eine Kopplungsbedingung zwischen den 6 Koeffizienten $\begin{eqnarray} c_1,\ldots,c_6 \end{eqnarray}$ , die du bisher noch nicht angegeben hast, d.h., dass du gar nicht 6 Freiheitsgrade hast, sondern nur 5 oder noch weniger? Eine solche Kopplungsbedingung könnte z.B. bewirken, dass die kubische Gleichung tatsächlich nur eine quadratische ist, wenn nämlich dadurch der kubische Koeffizient verschwindet. Gewiss, das ist Spekulation, die ich nur angestellt habe, weil du anscheinend genau zwei Lösungen erwartet hast.
09.03.2005, 10:16	sterngucker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hässliches Gleichungssystem Hallo Athur Dent, Habe eine vereinfachte Darstellung meines Problems gefunden, indem ich $\begin{eqnarray} z_1 = z_2 \end{eqnarray}$ setze. Das ergibt auch noch nutzbare Lösungen. Dadurch habe ich nur noch zwei mal Drei Gleichungen, die in zwei unabhängige Teilsysteme zefallen und einfach lösbar sind (Quadratische Gleichungen). Eine "Grosse" Lösung wäre natürlich schicker, ist aber offensichtlich nicht praktikabel. Vielen Dank für die Hilfe Sterngucker.

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