Integralrechnung

07.03.2005, 16:17

Integralo

Auf diesen Beitrag antworten »

Integralrechnung

Hallo Zusammen,
ich habe ein Problem mit folgender Aufagbe und vielleicht kann mir hier jemand dabei helfen?
Integrieren Sie : $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}\sqrt{4-2²}dz \end{eqnarray*}$
Jetzt weiß ich gar nicht wie ich da anfangen soll!
Was mach ich mit der Wurzel und muß eine Substitution machen?

Gibt es da ein Schema wie man an solche Aufgaben geht??

Bin über jede Hilfe dankbar!!!
Vielen Dank im Voraus!
Gruß Nils

07.03.2005, 16:25

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integralrechnung
Da ist wohl die Angabe falsch, denn das, was Du unter deiner Wurzel hast ergibt null. Damit erübrigt sich großes rechnen.

EDIT: Und falls die Angabe stimmt, dann geb ich folgenden Tipp: Immer zuerst überlegen, was sich vereinfachen lässt.

07.03.2005, 16:28

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst wohl eher:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^2\sqrt{4-z^2}\mathrm dz \end{eqnarray*}$

Klammere 4 aus (teileweise Wurzel ziehen) und substituiere

$\begin{eqnarray*} \frac{z}{2} = \sin u \end{eqnarray*}$

und bedenke dann

$\begin{eqnarray*} \sin^2u + \cos^2u = 1 \end{eqnarray*}$

07.03.2005, 16:29

Spooner

Auf diesen Beitrag antworten »

wird wohl 2^z gemeint haben, wenn schon dz... (war wohl ein bißchen spät... aber z^2 ist natürlich angenehmer)

07.03.2005, 16:32

Integralo

Auf diesen Beitrag antworten »

[FONT=arial][FONT=arial][FONT=arial]
Ups, anstelle der 2 muß ein z stehen, sorry....
also $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2} \sqrt{4-z²}dz \end{eqnarray*}$

Also das gleiche nochmal.....

07.03.2005, 16:34

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von iammrvip
Klammere 4 aus (teileweise Wurzel ziehen) und substituiere

$\begin{eqnarray*} \frac{z}{2} = \sin u \end{eqnarray*}$

und bedenke dann

$\begin{eqnarray*} \sin^2u + \cos^2u = 1 \end{eqnarray*}$

Anzeige

07.03.2005, 16:38

Spooner

Auf diesen Beitrag antworten »

mal so nebenbei: soll eigentlich $\begin{eqnarray*} z \in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ sein? oder reell das ganze, dann wird normalerweise x benützt

07.03.2005, 16:53

Integralo

Auf diesen Beitrag antworten »

@spooner
das weiß ich leider nicht....denke das ist ne Variation von unserem Matheleherer.

07.03.2005, 16:55

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du noch Schüler bist, dann ist es $\begin{eqnarray*} z\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , keine Frage.

07.03.2005, 17:34

Integralo

Auf diesen Beitrag antworten »

Integralrechnung
Danke für die schnelle Hilfe...aber leider schaff ich es noch nicht.

also die 4 ausklammern?!

so? [latex]\sqrt{4(1- \frac{z²}{4})} [/latex

Leider komme ich so nicht weiter....
vielleicht kann mir jemand noch weitere Tipps geben

Gruß Nils

07.03.2005, 17:51

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig. Und für das weitere Vorgehen hat iammrvip den richtigen Hinweis schon zweimal geschrieben. Ich mache es noch ein drittes mal Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{z}{2} = \sin u \end{eqnarray*}$

und bedenke dann

$\begin{eqnarray*} \sin^2u + \cos^2u = 1 \end{eqnarray*}$

Bei was genau weißt du nicht mehr weiter? Hast du die Substitution schon vollständig durchgeführt?

07.03.2005, 18:18

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

@Integralo

$\begin{eqnarray*} \frac{z^2}{4} = \left(\frac{z}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Ich würde die 4 noch aus der Wurzel ziehen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4\left(1- \frac{z^2}{4}\right)} = 2\sqrt{1 - \left(\frac{z}{2}\right)^2} \end{eqnarray*}$

jetzt kannst du wunderbar substituieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

07.03.2005, 19:20

Integralo

Auf diesen Beitrag antworten »

Integralrechnung
Aha, jetzt wird mir eineiges klar.....
aber wie verhält sich den die Wurzel beim integrieren?

Bis jetzt schon mal vielen Dank für die super Hilfe!!!!

07.03.2005, 19:29

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibe mal deine Schritte die du schon hast auf Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

07.03.2005, 19:42

Integralo

Auf diesen Beitrag antworten »

Integralrechnung
gerne,
ich bin jetzt bei
$\begin{eqnarray*} 2\int_{0}^{2}\sqrt{ ~cos²u~dx} \end{eqnarray*}$
ist das soweit korrekt?
Wie leite ich cos²u denn jetzt ab?
und was ist mit der verdammten Wurzel?

07.03.2005, 19:52

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nicht ganz.

du substituierst:

$\begin{eqnarray*} \frac{z}{2} &= \sin u \\ \mathrm dx &= 2\cos u~\mathrm du \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} & 2\int\sqrt{1 - \left(\frac{z}{2}\right)^2}\mathrm dx \\ &= 2\left[\int\sqrt{1 - \sin^2u}\cdot 2\cos u\mathrm du\right]_{u = \arcsin \frac{z}{2}} \\ &= 4\int\sqrt{1 - \sin^2u}\cos u\mathrm du \end{eqnarray*}$

Jetzt brauchst du den Trigonometrischen Pythagoras:

$\begin{eqnarray*} \sin^2u + \cos^2u = 1 \end{eqnarray*}$

PS: Du musst die Grenzen auch substituieren, aber das lass ich bei der Berechnung weg, ist mir zu umständlich.

07.03.2005, 20:06

Integralo

Auf diesen Beitrag antworten »

Integralrechnung
man,man,jetzt bin ich doch etwas verwirrt...
vielen Dank für die Hilfe, aber ich denke , dass der Herr Lehrer das morgen eh allen erklären muß. Deshalb will ich Eure Zeit nicht weiter beanspruchen!
Trotzdem vielen Dank für Eure Mühen und einen schönen Abend noch...

Gruß Nils
P.S. Nur Interessehalber was passiert mit der Wurzel beim integrieren ??

07.03.2005, 20:16

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Du nimmst jetzt den T. P. und stellst ihn einfach nach $\begin{eqnarray*} \cos u \end{eqnarray*}$ . Dann guckst du Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sin^2u + \cos^2u &= 1 \\ \cos^2u &= 1 - \sin^2u \\ \cos u &= \sqrt{1 - \sin^2u} \end{eqnarray*}$

siehst du was?? Genau wir können wir Wurzel durch $\begin{eqnarray*} \cos u \end{eqnarray*}$ ersetzen Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} & 4\int\sqrt{1 - \sin^2u}\cos u\mathrm du \\ &= 4\int\cos u\cos u\mathrm du \\ &= 4\int\cos^2u\mathrm du \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du partiell Integrieren (oder im Tafelwerk gucken, dort steht das drin Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

/edit:

Es kommt dann irgendwann

$\begin{eqnarray*} F(x) = 2\arcsin\left(\frac{z}{2}\right) + z\sqrt{1 - \left(\frac{z}{2}\right)^2} + C \end{eqnarray*}$

raus.

07.03.2005, 21:30

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von iammrvip
$\begin{eqnarray*} \cos^2u &= \sqrt{1 - \sin^2u} \end{eqnarray*}$

Da ist dir ein Quadrat zuviel reingerutscht.

08.03.2005, 18:24

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Was würde sich bei der Aufgabe konkret verändern, wenn z komplex wäre?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »