Schätzung der Standardabweichung einer Gaußverteilung

07.03.2005, 16:52	oXmoX	Auf diesen Beitrag antworten »
Schätzung der Standardabweichung einer Gaußverteilung Hallo zusammen. Ich hoffe, mir kann jemand bei meinem Problem mit der Gaußverteilung helfen. Also: ich habe eine Menge zeitlich aufeinanderfolgender Zufallswerte $\begin{eqnarray} x_{i} \end{eqnarray}$ , von denen angenommen wird, dass sie zwei oder mehr unterschiedlichen Gaußverteilung $\begin{eqnarray} N(\mu,\sigma^{2}) \end{eqnarray}$ angehören. Die Gaußverteilungen unterscheiden sich jedoch nur in ihrem Mittelwert $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ . Außerdem gehören zwei zeitlich aufeinanderfolgende Zufallswerte meist der selben Gaußverteilung an, da "Sprünge" des Mittelwertes $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ nur selten zu erwarten sind. Die Varianz bleibt also immer gleich, während der Mittelwert von Zeit zu Zeit einen Sprung macht. Ziel ist es jetzt, die Varianz $\begin{eqnarray} \sigma^{2} \end{eqnarray}$ zu schätzen. Dazu geht man wiefolgt vor: Man berechnet zunächst die absoluten Abweichungen $\begin{eqnarray} \|x_{i}-x_{i+1}\| \end{eqnarray}$ aller aufeinanderfolgender Wertepaare $\begin{eqnarray} (x_{i}, x_{i+1}) \end{eqnarray}$ . Dann berechnet man den Median $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ dieser absoluten Abweichungen. Der Median liefert eine robuste Schätzung und wird durch die wenigen Sprünge von $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ nicht beeinflußt. Da die Originalewerte $\begin{eqnarray} x_{i} \end{eqnarray}$ ja gaußverteilt waren, ist natürlich auch die Differenz $\begin{eqnarray} (x_{i}-x_{i+1}) \end{eqnarray}$ gaußverteilt mit $\begin{eqnarray} N(0,2\sigma^{2}) \end{eqnarray}$ . Bis dahin hab ich die Sache verstanden, aber ab jetzt verstehe ich nurnoch Bahnhof im Text. Der Autor schreibt nun: Since this distribution ist symmetric, the median of the absolute deviations m is equivalent to the quarter percentile of the deviation distribution. That is, $\begin{eqnarray} Pr(N(0,2\sigma^{2})>m)=0.25 \end{eqnarray}$ and therefore the standard deviation of the first distribution can be estimated as $\begin{eqnarray} \sigma=\frac{m}{0.68\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ . Wenn mir das jemand verständlich machen könnte wäre ich unendlich dankbar!
07.03.2005, 18:13	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die Zufallsgröße $\begin{eqnarray} Z\sim N(0,2\sigma^{2}) \end{eqnarray}$ , die stochastisch die Differenzen beschreibt. Du bildest jetzt aber nicht den Median der Z-Werte, sondern den ihrer Beträge. Also gilt laut Medianeigenschaft $\begin{eqnarray} 0.5\stackrel{!}=P(\|Z\|>m)=P(Z>m)+P(Z<-m) \end{eqnarray}$ Aus der Symmetrie der Normalverteilung folgt P(Z<-m)=P(Z>m) und somit dann die bei dir (bzw. beim Autor) schlampiger formulierte Gleichung $\begin{eqnarray} P(Z>m)=0.25 \end{eqnarray}$ Somit gilt dann $\begin{eqnarray} z_{0.75}=\frac{m}{\sqrt{2}\sigma} \end{eqnarray}$ mit dem 75%-Quantil $\begin{eqnarray} z_{0.75} \end{eqnarray}$ der Standardnormalverteilung, und das ist etwa 0.68.
07.03.2005, 19:25	oXmoX	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, jetzt hab ich es verstanden! Diese Medianeigenschaft kannte ich nicht. VIELEN DANK Wenn wir uns mal treffen, dann lad' ich dich zu einem Bierchen ein
12.08.2005, 16:03	oXmoX	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, damals im März hatte ich die Sache tatsächlich verstanden. Mittlerweile sieht das schonwieder anders aus. Wenn ich doch weiß, dass $\begin{eqnarray} P(Z>m)=0.25 \end{eqnarray}$ dann gilt doch auch $\begin{eqnarray} P(Z\leq m)=0.75 \end{eqnarray}$ und das 75%-Quantil der Standardnormalverteilung sagt mir dann, dass $\begin{eqnarray} m=0.68 \end{eqnarray}$ Wo ist denn mein Denkfehler?
12.08.2005, 16:11	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist kein Denkfehler, sondern richtig, wenn - ja wenn dieses $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ standardnormalverteilt ist. Oben war $\begin{eqnarray} Z\sim\mathcal{N}(0,2\sigma^2) \end{eqnarray}$ normalverteilt, aber eben nicht standardnormalverteilt, höchstens für den speziellen Parameterwert $\begin{eqnarray} \sigma=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray}$ . EDIT: Faktor 2 vergessen.
12.08.2005, 16:32	oXmoX	Auf diesen Beitrag antworten »
O.K. das war schonmal ein dummer Fehler. Aber ich weiß jetzt immernoch nicht, wie du im letzten Schritt auf $\begin{eqnarray} z_{0.75}=\frac{m}{\sqrt{2}\sigma} \end{eqnarray}$ kommst. Das ist alles ziemliches Neuland für mich.
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12.08.2005, 16:54	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} Y=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray}$ , d.h., Subtraktion des Mittelwertparameters und anschließende Division durch die Standardabweichung überführt jede beliebige normalverteilte Zufallsgröße in eine standardnormalverteilte Zufallsgröße. Das ist eine der bekanntesten Eigenschaften der Normalverteilung, solltest du eigentlich kennen. Für dein $\begin{eqnarray} Z\sim\mathcal{N}(0,2\sigma^2) \end{eqnarray}$ ergibt das entsprechend, dass $\begin{eqnarray} Y=\frac{Z-0}{\sqrt{2\sigma^2}}=\frac{Z}{\sqrt{2}\sigma} \end{eqnarray}$ standardnormalverteilt ist, also $\begin{eqnarray} 0.75 = P(Z<m) = P \left( \frac{Z}{\sqrt{2}\sigma} < \frac{m}{\sqrt{2}\sigma} \right) = P \left( Y< \frac{m}{\sqrt{2}\sigma} \right) = F_Y\left( \frac{m}{\sqrt{2}\sigma} \right) \end{eqnarray}$ Und für dieses $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ kannst du nun diese Standardnormalverteilungsquantile $\begin{eqnarray} z_{\alpha} \end{eqnarray}$ nutzen, also ergibt sich aus der letzten Zeile $\begin{eqnarray} z_{0.75} = \frac{m}{\sqrt{2}\sigma} \end{eqnarray}$ Ausführlich genug?
12.08.2005, 17:15	oXmoX	Auf diesen Beitrag antworten »
PERFEKT! ...jetzt wo du es sagst, erinnere ich mich, wie wir damals in der Schule auch schonmal sowas gemacht haben ...lang ists her Viele Dank! ...und bis zur nächsten Frage

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