Abbildung: surjektiv, injektiv oder bijektiv?

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07.03.2005, 16:57	thehans	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung: surjektiv, injektiv oder bijektiv? Moinsen, Wollt nur mal wissen, ob mir jemand helfen kann. Ich habe eine Abbildung und soll entscheiden, ob sie surjektiv injektiv oder bijektiv ist. Wie geht man am besten an so ein Problem ran? Also z.B. eine Abbildung T mit: $\begin{eqnarray} R^{2} \Rightarrow R^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\end{pmatrix} \Rightarrow x_{1}v_{}^1+x_{2}v_{}^2+(x_{1}+x_{2})v_{}^3 \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} v_{}^1 =\begin{pmatrix}1 \\0\\ 0\end{pmatrix} v_{}^2 =\begin{pmatrix}1 \\1\\ 0\end{pmatrix} v_{}^3 =\begin{pmatrix}1 \\1\\ 1\end{pmatrix} v_{}^4 =\begin{pmatrix}3 \\2\\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hoffe mir kann jemande helfen
07.03.2005, 17:17	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Überleg dir doch erstmal, was surjektiv bedeutet!! PS: Was ist denn v? Und für mich sieht das aus, wie eine Abbildung $\begin{eqnarray} \mathbb R^2\to \mathbb R \end{eqnarray}$ edit: Hat sich nun nach dem Edit erledigt.
07.03.2005, 17:23	thehans	Auf diesen Beitrag antworten »
Die $\begin{eqnarray} vs \end{eqnarray}$ habe ich nochmal nachgereicht, sry Surjektiv ist, wenn ich jedem Element aus der Bildmenge, mindestens ein Bild aus der Urbildmenge zuordne. inketiv, jedem Element aus Bild höchstens ein Element aus Urbild und bijektiv, genau ein Element aus Urbild pro bild. Naja habs versucht in Worte zu fassen ^^
07.03.2005, 17:37	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
jo, du meinst auf jeden fall das richtige. wozu braucht man v4? als tipp: {v1,v2,v3} ist eine basis, vielleicht hilft dir das schon mal weiter... was sagt denn das z.b. über die koeffizienten, wenn du einen vektor aus dem IR³ mit ihnen darstellen willst?
07.03.2005, 18:15	thehans	Auf diesen Beitrag antworten »
Da das eine Unterfrage von mehreren Fragen ist, die sich alle auf die Vektoren v1-v4 bezogen, hab ich v4 auch mal eingefügt. Ist gut das man den nicht braucht, hab den vorsichtigerweise aber auch mal hingeschrieben. Naja, wenn ich einem Vektor mit der Basis darstellen will, dann muss ich diesen Vektor, mit hilfe der Basis kombinieren. Die koeffizienten geben mir an, wie oft ich die einzelnen Basisvektoren "nehmen" muss, um diesen Vektoren zu erhalten. Wenn ich deine Frage jetzt richtig verstanden hab hm nur hilft mir das nicht wirklich weiter.
07.03.2005, 18:18	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm, aber du kannst einen vektor aus einem beliebigen erzeugendensystem linearkombinieren oder eben aus einer basis (minimales erzeugendensystem).... was ist denn da der gewaltige unterschied für die koeffizienten? stichwort: eindeutigkeit.....
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07.03.2005, 18:25	thehans	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja mit einer Basis gibt es für jeden Vektor nur eine eindeutige Lösung. Haben wir ein normales Erzeugendensysstem, gibt es eventuell unendlich viele Lösung für ein und den selben Vektor. Und nu?
07.03.2005, 18:27	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt liegt also ein vektor x im bild deiner abbildung... dann hast du da etwas der form: x=av1+bv2+cv3, was sagt denn das erstmal über a,b,c aus? die sind eindeutig.... und jetzt überleg mal wegen injektivität........
07.03.2005, 18:34	thehans	Auf diesen Beitrag antworten »
dann würd ich bijketiv sagen...aber das würde dann doch auch die surjektivität implizieren. Aber surjektiv ist es nicht, sagt zumindest der Prof...hm
07.03.2005, 18:36	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
tja, was sagst du denn nun zur injektivität? und danach denken wir dann weiter bzgl. surjektivität... bedenke das x=av1+bv2+cv3 für beliebige a,b,c in IR³ liegt.....
07.03.2005, 18:52	thehans	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm ich ich sag jetzt injektiv. Ich muss ja jeden Vektor aus dem R^3 mit dieser Abbildungs vorschrift aus jedem Vektor aus dem R^2 darstellen können. Der Nullvektor geht gut (x1=x2=0) aber bei dem Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wirds schon meines erachtens nicht mehr möglich. Denn, eine 1 in der ersten komponente kriegt man nur, wenn der Vektor im R^2 so $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1\\-1/2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder so $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1/2\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aussieht. Dann führt aber wieder zu einem Widerspruch mit den anderen beiden Kompenten, die ungleich 0 sind. Mensch hoffe ich liege jetzt richtig und ich danke dir hast mir geholfen ^^
07.03.2005, 18:55	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
jupp, richtig.... alles klar nun?! mfg jochen
07.03.2005, 18:56	thehans	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo alles klar jetzt ich danke dir bist spitze!!!
08.03.2005, 13:12	thehans	Auf diesen Beitrag antworten »
So muss den Thread nochmal aufrollen. Aber nur zur Kontrolle ob ich das richtig verstanden hab. Also folgende Abbildung: $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \Rightarrow \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v^{i} \Rightarrow v^{i+1} \end{eqnarray}$ mit den ganz oben gegeben Vektoren $\begin{eqnarray} v^{1} \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} v^{4} \end{eqnarray}$ Nun meine Überlegung. Da v2,v3 und v4 eine Basis sind, ist somit jeder Vektor aus dem $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ eindeutig bestimmt, und somit ist die Abbildung bijektiv, da ich ja jeden Vektor eindeutig bestimmen kann. Nur zur Kontrolle ob meine Gedankengänge richtig waren. edit: mit i=1,2,3
08.03.2005, 13:21	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur zur Kontrolle ihr hattet jetzt raus das es injektiv aber nicht surjektiv ist oder? Weil wegen sonst versteh ich nicht wie ihr darauf kommt.
08.03.2005, 13:32	thehans	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo beim ersten Problem war die Abbildung injektiv und nicht surjektiv.
08.03.2005, 13:35	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim 2. Problem. So wie ich das sehe bildet v1-v3 und v2-v4 jeweils ein System von Basisvektoren. Das heisst es gibt eine bijektive Abbildung die die beiden Basisysteme in ein ander überführen.
08.03.2005, 13:37	thehans	Auf diesen Beitrag antworten »
jo das war auch meine überlegung, wollte nur noch mal sicher gehen ob das so i.O. ist Und das scheint es ja zu sein Also thx und viel spass noch

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