[WS] Logarithmen

30.01.2004, 18:42	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
[WS] Logarithmen Ich werde hier einen Workshop zum Thema "Logarithmen" schreiben. Zuerst werde ich die Schreibweise von Logarithmen zeigen, dann werde ich die Grundregeln der Logarithmenumformung schreiben und dann noch ein paar Beispielaufgaben. Genaueres gibts dann am Wochenende, da ich jetzt keine Zeit mehr habe Inhaltsverzeichnis: [1.]Schreibweise [2.]Rechenregeln mit Logarithmen mfg
01.02.2004, 17:17	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Schreibweise Wie sieht das aus, wenn man eine Funktion hat, die exponentiell verläuft und der X-Wert nicht bekannt ist? Beispiel 1: $\begin{eqnarray} y = b q^x \end{eqnarray}$ Ich beschreibe in diesem Beispiel die Zinsesberechnung mit Zinseszinsen etc. b..Startkapital y..Endkapital nach x Jahren x..Anzahl Jahre q..Wachstumsfaktor Nehmen wir als Zinssatz 3% Dann ist der Wachstumsfaktor natürlich 100% + 3% = 103% = 1.03 q = 1.03 b = 200 y = 400 x = ? Ich gebe ein Kapital von 200 Euro auf die Bank bei einem Zinssatz von 3%. Ich möchte wissen, nach wieviel Jahren ich 400 Euro auf dem Konto habe. Umformen, sodass nur noch q und x auf einer Seite stehen: $\begin{eqnarray} 400/200 = 1.03^x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2 = 1.03^x \end{eqnarray}$ Und jetzt kommen die Logarithmen ins Spiel: $\begin{eqnarray} ^{1.03} log(2) = x \end{eqnarray}$ So wird das nun hingeschrieben und das heisst folgendes: "Der Logarithmus von 2 zur Basis 1.03 ist x"* Wie würde man diese Gleichung nun lösen? Die linke Seite der Gleichung ist gleich wie die rechte. Wenn man jetzt den logarithmus beider Seiten nimmt, bleiben beide Seiten wieder gleich. Das würde also heissen: Beispiel 1: $\begin{eqnarray} log(2) = log(1.03^x) \end{eqnarray}$ Hier habe ich bewusst keine Basis vom log angegeben, weil man bei beiden die gleiche nehmen kann. Bis jetzt klingt das ganze noch recht verwirrend, aber ich hoffe, dieses Thema wird verständlich sein, wenn ich fertig bin mfg
19.03.2004, 12:50	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
2. Rechenregeln Also weiter gehts... wie kann man nun mit Logarithmen rechnen. Es gibt da 3 Grundregeln und mithilfe von denen sollte eigentlich alles möglich sein. Hier mal die Liste dieser Regeln: 1. $\begin{eqnarray} lg(a \cdot b) = lg(a) + lg(b) \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} lg(\frac{a}{b}) = lg(a) - lg(b) \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} lg(a^b) = b \cdot lg(a) \end{eqnarray}$ Zuerst einmal: Ich habe hier bewusst lg anstatt log geschrieben, da bei uns (ich weiss nicht, wie das bei euch ist...) lg der log zur Basis 10 darstellt. Also machen wir nun ein kleines Beispiel. Hier zuerst eine kleine Feststellung, das wir wissen sollten, damit wir das Beispiel auch korrigieren können. $\begin{eqnarray} ^{10}log(10) = 1 \end{eqnarray}$ Daraus folgt das lg(10) = 1 Nun zum Beispiel: $\begin{eqnarray} lg(10^4) = lg(5^x \cdot 2^x) \end{eqnarray}$ Für dieses spezielle Beispiel gibts eigentlich mehrere Möglichkeiten, um es zu lösen. Man könnte natürlich nach dem = einfach das x ausklammern mit (52)^x aber ich hab es bewusst so geschrieben, damit wir mit den Regeln rechnen können und schöne Zahlen erhalten... Zuerst einmal, sollte man hinter dem = etwas aufräumen... $\begin{eqnarray} lg(5^x \cdot 2^x) = lg(5^x) + lg(2^x) \end{eqnarray}$ Das setzen wir nun ein... $\begin{eqnarray} lg(10^4) = lg(5^x) + lg(2^x) \end{eqnarray}$ Jetzt werden alle Exponenten vor den lg gestellt... $\begin{eqnarray} 4 \cdot lg(10) = x \cdot lg(5) + x \cdot lg(2) \end{eqnarray}$ x ausklammern (jetzt ist es sogar notwendig) $\begin{eqnarray} 4 \cdot lg(10) = x \cdot (lg(5) + lg(2)) \end{eqnarray}$ Jetzt kommt ein etwas seltsames "Manöver" für den geübten Mathematier das lg(5) + lg(2) können wir ja mit der 1. Logarithmusregel zusammenfassen: $\begin{eqnarray} lg(5) + lg(2) = lg(52) = lg(10) \end{eqnarray}$ und in die Gleichung eingefügt ergibt das: $\begin{eqnarray} 4 \cdot lg(10) = x \cdot lg(10) \end{eqnarray}$ dann dividieren wir nun durch lg(10) oder wir setzen für lg(10) einfach die 1 ein, da wir ja wissen, dass lg(10) = 1 ist und dann haben wir: $\begin{eqnarray} x = 4 \end{eqnarray}$ Wer gut aufgepasst hat, dem sollte aufgefallen sein, dass der Schritt beim lg(5) + lg(2) = lg(10) eigentlich sinnlos gewesen ist, da $\begin{eqnarray} lg(5^x + 2^x) = lg((52)^x) = lg(10^x) = x \cdot lg(10) \end{eqnarray*}$ und somit wäre das ganze viel schneller gewesen Ich denke, Aufgaben kann ich bei Bedarf stellen. Falls jemand Übungsaufgaben will, kann er ja einen entsprechenden Thread eröffnen. mfg
11.04.2004, 20:05	Guevara	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkt zweier Exponentialfunktionen Man hat die Gleichung $\begin{eqnarray} ab^x =cd^x \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \frac{a}{c} = \frac{d^x}{b^x} \end{eqnarray}$ Umformen $\begin{eqnarray} \frac{a}{c} = (\frac{d}{b})^x \end{eqnarray}$ Logarithmus $\begin{eqnarray} lg(\frac{a}{c}) = lg((\frac{d}{b})^x ) \end{eqnarray}$ 2.LogGesetz $\begin{eqnarray} lg(\frac{a}{c}) = x lg(\frac{d}{b}) \end{eqnarray}$ Umformen $\begin{eqnarray} \frac{(lg(a)-lg(c))}{(lg(d)-lg(b))} = x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a\cdot b^x = c\cdot b^x \end{eqnarray}$ .... $\begin{eqnarray} x = \frac{lg(a)-lg(c)}{lg(d)-lg(b)} \end{eqnarray*}$ EDIT by sommer87: mimetex verbessert Praktisch wird diese Formel benötigt, wenn man zum Beispiel errechnen will wann das BIP von China höher ist als das der USA.

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