Markow-Ketten

07.03.2005, 18:29

4c1d

Markow-Ketten

Hallo,

Ich habe folgende Aufgabe :
Gegeben ist die stochastische Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1/3 & 0 & 1/6 \\ 1/2 & 0 & 1/3 & 1/6 & 0 \\ 1/3 & 1/3 & 0 & 1/6 & 1/6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Man soll dazu den Zustandsgraphen zeichnen, wobei die Zustände wie folgt heißen : T,S,R,A,B (in der Reihenfolge wie in der Matrix notiert). A(=Spieler A gewinnt) und B(=Spieler B gewinnt) sind die Endzustände
Aufgaben dazu :
1. Man berechne die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten für A, das Spiel zu gewinnen, wenn gerade Zustand R, S oder T erreicht ist. Ferner ist für jeden dieser Zustände die mittlere Schrittzahl bis zum Spielende zu errechnen.

Bis hier gleicht es im Wesentlichen anderen ähnlichen Aufgaben zu Markow-Ketten und stellt auch kein besonderes Problem dar.

2. Man überlege, ob und ggf. wie man die mittlere Schrittzahl berechnen kann, wenn vorrausgesetzt wird, dass A gewinnt. Kann man hierzu die Ergebnisse aus 1. verwenden?

Dazu hatte ich mir überlegt, dass man eventuell alle Wahrscheinlichkeiten, die zu B führen (letzte Spalte in der Matrix) gleich 0 setzen könnte und die Wahrscheinlichkeiten so neu verteilen könnte, dass die Verhältnisse erhalten bleiben, also z.B. (0;3/5;2/5;0;0) für die erste Zeile. Das hat aber nichts mit den Ergebnissen aus 1. zu tun und führt auch zu ganz anderen Werten. Ich weiß leider nicht, ob mein Ansatz richtig ist verwirrt

3. A hat das Spiel gewonnen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war das Startfeld S?

Da habe ich im Moment gar keine Idee, wäre über Hinweise sehr dankbar !

07.03.2005, 18:50

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Erstmal machen wir eine wirkliche stochastische Matrix draus, mit absorbierenden Zuständen A und B:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1/3 & 0 & 1/6 \\ 1/2 & 0 & 1/3 & 1/6 & 0 \\ 1/3 & 1/3 & 0 & 1/6 & 1/6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei 3. braucht man noch die (A-priori-)Information, wie das Spiel gestartet wird. Ich nehme an, gleichberechtigt (mit je 1/3 Wkt.) in R, S oder T ? Dann ist 3. einfach mit der Bayeschen Formel berechenbar.

07.03.2005, 19:21

4c1d

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an bayes regel hatte ich auch schon gedacht; allerdings hatte ich dann zu viele unbekannte. Die Information, dass alle Spielstände in der Ausgangsposition gleichberechtigt sind, steht leider nicht im Aufgabentext, deshalb dachte ich, man müsste das auch irgendwie anders berechnen können.
Ist denn meine Überlegung zu 2. richtig?

07.03.2005, 19:25

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Zitat:

Original von 4c1d
Die Information, dass alle Spielstände in der Ausgangsposition gleichberechtigt sind, steht leider nicht im Aufgabentext,

Was steht denn genau dort, wie das Spiel angefangen wird? Die Information über die Anfangsverteilung ist nämlich wirklich essentiell, sie geht nicht aus den anderen Werten hervor.

EDIT: Zu 2.: Wie hast du denn bei 1. die mittlere Schrittzahl berechnet?

07.03.2005, 19:33

4c1d

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da steht außer den Aufgaben nur noch
"Die gegebene stochastische Matrix gehört zu einem Spiel, in dem Spieler A gewinnt, wenn Feld A erreicht wird und B, wenn B erreicht wird."
Dem kann ich nichts dazu entnehmen...

edit : zu 1.
über aufstellen eines gleichungssystems mit hilfe der übergangswahrscheinlichkeiten
also
e(T) = 1 + 1/2 * e(S) + 1/3 * e(R)
e(R) = 1 + 1/3 * e(S) + 1/3 * e(T)
usw.

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