Matrixaufgabe |
| 07.03.2005, 19:31 | ReneS79 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Matrixaufgabe Ich habe hier mal ein Problem mit folgender Aufgabe. Es handelt sich um eine Matrixaufgabe. Einen Teil denke ich mal habe ich schon richtig gelöst, aber mit dem anderen Teil komme ich nicht zurecht. Aufgabe: Für welche k € R, k ungleich 0 besitzt folgende Matrizengleichung nichttriviale Lösungen? Gebe eine dieser nichttrivialten Lösungen an (x y z). Mal ausgerechnet! 1x-kx - 2y + 2z = 0 5x - 6y-ky + 2z = 0 5x - 5y + 3z-kz = 0 Davon jetzt ausgeklammert und die Zahlen ohne Parameter wieder in ne Matrix gebracht und davon die Determinaten berechnet, was dann eigentlich so ausstehen müste. 0=-(k-3)*(k+1)*(k+4) ===>>> k1=-4 // k2=-1 // k3=3 So jetzt setze ich eine dieser Lösungen in das Gleichungsystem (oben) ein. Ich habe mal die -1 genommen. 2x - 2y + 2z = 0 5x - 5y + 2z = 0 5x - 5y + 4z = 0 Ich denke mal bis hier her sollte es stimmen, nur wie errechne ich nun eine dieser nichttrivialen Lösungen? Das Gleichungssystem ergibt nach ausrechnen keinen Sinn bzw. der GTR gibt einen Math/Error aus? Wäre sehr nett, wenn ihr mir da mal helfen könntet. Danke Rene |
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| 08.03.2005, 01:27 | laptatidellatunda | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Matrixaufgabe ich glaub du hast dich einfach beim ausrechnen der determinante vertan |
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| 08.03.2005, 08:39 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Matrixaufgabe Eigentlich ist das normales Lösen von GLS mit Gauß-Algorithmus. Subtrahiere von der 3. Gleichung die 2. Was kommt dann für z raus? Setze das ein und wähle ein nicht triviales y. Berechne dazu das x. Übrigens: das Thema nennt sich "Eigenwerte". Die sind übrigens richtig berechnet.
Einfach mal ne Vermutung in den Raum stellen, die obendrein nicht stimmt, ist nicht besonders genial. 
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| 08.03.2005, 17:08 | ReneS79 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
thx erstma! Also wenn ich jetzt die 3. von der 2 subtrahiere dann bleibt doch folgendes übrig. 2x - 2y + 2z = 0 5x - 5y + 2z = 0 - 2z = 0 folglich ist folglich habe ich dann -2z=0. Wenn ich aber jetzt nach z auflösen möchte, wäre das ja Null 
?Und wie meinst du das -> "Setze das ein und wähle ein nicht triviales y. Berechne dazu das x." gruss Rene |
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| 09.03.2005, 09:09 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
richtig, es ist z = 0. Setzen wir das in die Gleichung ein, steht da: 2x - 2y = 0 5x - 5y = 0 Das dividiert durch 2 bzw. durch 5, dann steht jedesmal x - y = 0 da. Jetzt wählen wir ein nicht-triviales y, also nicht y = 0, sondern meinetwegen y = 1. Daraus das x berechnen, fertig. |
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| 09.03.2005, 10:26 | gargyl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab das so gelöst: Zeile 1- Zeile 2 Daraus folgt x=y Das in Zeile 3 eingesetzt ergibt (3-k)z = 0 Erkenntniss 1: Unabhängig von k ist das für z=0 richtig. Erkenntniss 2: x und y können frei gewählt werden. (Solang x=y gilt) ist also ein Lösung. Das eingesetzt ergib k=-1 |
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| 09.03.2005, 10:56 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dass x=y ist, war ja unter der Prämisse gerechnet, dass k=-1 ist. Von daher verstehe ich die Zeile (3-k)z = 0 nicht.
Die Rechnung läuft doch gerade umgekehrt. Man betrachtet den Fall k=-1 und löst das sich daraus ergebende GLS. Was noch fehlt, ist die Betrachtung der anderen beiden Fälle. Nebenbei: es gibt auch eine Lösung mit x ungleich y, natürlich nicht zu k=-1. |
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| 09.03.2005, 12:35 | gargyl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt halt viele Wege die nach Rom führen |
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| 09.03.2005, 15:28 | ReneS79 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke euch! Aber eine Frage habe ich noch. Woraus erkennt man, das ich hier ein beliebiges "y" außer Null so einfach wählen darf um mir x auszurechnen? thx Rene |
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| 09.03.2005, 15:50 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun ja, irgendwann hast du beispielsweise eine Gleichung, die so aussieht: a*x + b*y = 0 Das gibt es viele Lösungen, um nicht zu sagen: unendlich viele. x=y=0 ist die sogenannte triviale Lösung. Die reißt keinen vom Hocker. Gesucht wird irgendeine nicht-triviale Lösung. Also setzt man für eine Variable irgendwas (aber nicht Null) ein und berechnet die andere. Fertig. |
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| 09.03.2005, 17:21 | ReneS79 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke! Wenn du nochma Zeit hast, dann habe ich hier nochma so ne ähnliche Aufgabe, wo ich auch nicht hinkomme. Auch nicht über Parameterabhänige Lösung. -1x + 0 + 1z = 0 1x - 1y + 1z = 0 0 + 1y - 2z = 0 Ist die selbe Aufgabenstellung wie oben. Hier soll auch ein nichttriviale Lösung angegeben werden. danke Rene |
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| 10.03.2005, 08:51 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also leichter geht's doch kaum. Aus der 3. Gleichung y = 2z in die 2. Gleichung einsetzen: -1x + 0 + 1z = 0 1x + 0 - 1z = 0 0 + 1y - 2z = 0 Die 1. und 2. Gleichung sind also bis auf das Vorzeichen identisch. In der 3. Gleichung z= 1 wählen. Restliche Werte bestimmen und fertig. 
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| 10.03.2005, 16:28 | ReneS79 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke! Also kommt müsste dann folgender Vektor rauskommen. Hoffe das stimmt 
gruss Rene |
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| 10.03.2005, 18:21 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
100% richtig! 
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