Vereinfachen von Ausdrücken

05.09.2007, 07:40

Alexandra87

Vereinfachen von Ausdrücken

Hallo,

ich bräuchte eine Vereinfachung folgenden Ausdruckes (mit Rechenschritten!):

$\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)^2}{(b-a)^2}*\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$

Danke
Alexandra

05.09.2007, 08:17

Alexandra87

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RE: Vereinfachen von Ausdrücken
ich bin schon etwas weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)^2}{(b-a)^2}\cdot\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{(a+b)^2\cdot(a+b)\cdot(a-b)}{(b-a)^2\cdot(a^2+b^2)} = \frac{(a+b)^3}{(a^2+b^2)}\cdot\frac{a-b}{(b-a)^2} \end{eqnarray*}$

jetzt müsste mir nur noch jemand erklären, wie ich $\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{(b-a)^2} \end{eqnarray*}$ vereinfachen kann zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a-b} \end{eqnarray*}$ ?!

Das sollte nämlich als Ergebnis rauskommen.

05.09.2007, 08:38

Gnu

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$\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{(b-a)^2}=\frac{a-b}{(b-a)\cdot (b-a)}=\frac{a-b}{(-1)\cdot (a-b) \cdot (a-b) \cdot (-1)}=\frac{1}{a-b} \end{eqnarray*}$

05.09.2007, 08:49

Alexandra87

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Danke,

mittlerweile bin ich auch draufgekommen, dass $\begin{eqnarray*} (b-a)^2 \end{eqnarray*}$ das gleiche ist wie
$\begin{eqnarray*} (a-b)^2 \end{eqnarray*}$ .

Eigentlich simpel, aber manchmal steht mal eben auf der Leitung... Augenzwinkern

05.09.2007, 17:49

MatheKind

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RE: Vereinfachen von Ausdrücken

Zitat:

Original von Alexandra87
ich bin schon etwas weiter:

$\begin{eqnarray*} = \frac{(a+b)^3}{(a^2+b^2)}\cdot\frac{a-b}{(b-a)^2} \end{eqnarray*}$

jetzt müsste mir nur noch jemand erklären, wie ich $\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{(b-a)^2} \end{eqnarray*}$ vereinfachen kann zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a-b} \end{eqnarray*}$ ?!

Das sollte nämlich als Ergebnis rauskommen.

Kann mir jemand erklären, wie das hier $\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)^3}{(a^2+b^2)} \end{eqnarray*}$ rausgekürzt wurde?!

Liebe Grüße
MatheKind

05.09.2007, 18:49

WebFritzi

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Da wurde nichts rausgekürzt.

05.09.2007, 18:53

MatheKind

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Wie kann dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a-b} \end{eqnarray*}$ ganz alleine da stehen?!

05.09.2007, 18:55

WebFritzi

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Tut es doch gar nicht.

05.09.2007, 19:44

mYthos

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RE: Vereinfachen von Ausdrücken
Es ist nämlich

$\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{(b-a)^2} = \frac{a-b}{(a-b)^2} \end{eqnarray*}$

denn beim Quadrat gilt ja ganz allgemein $\begin{eqnarray*} (-x)^2 = (+x)^2 = x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b - a = -(a - b) \end{eqnarray*}$

mY+

05.09.2007, 20:10

WebFritzi

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RE: Vereinfachen von Ausdrücken
Ich denke, dass ihr das schon klar war. Sie hat nur nicht verstanden, dass Alexandra hier

Zitat:

Original von Alexandra87
$\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)^2}{(b-a)^2}\cdot\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} = \frac{(a+b)^2\cdot(a+b)\cdot(a-b)}{(b-a)^2\cdot(a^2+b^2)} = \frac{(a+b)^3}{(a^2+b^2)}\cdot\frac{a-b}{(b-a)^2} \end{eqnarray*}$

jetzt müsste mir nur noch jemand erklären, wie ich $\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{(b-a)^2} \end{eqnarray*}$ vereinfachen kann zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a-b} \end{eqnarray*}$ ?!

Das sollte nämlich als Ergebnis rauskommen.

nicht meinte, dass der Term $\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)^3}{(a^2+b^2)} \end{eqnarray*}$ einfach wegfällt. Augenzwinkern

05.09.2007, 21:28

Alexandra87

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RE: Vereinfachen von Ausdrücken

Zitat:

Original von MatheKind

Kann mir jemand erklären, wie das hier $\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)^3}{(a^2+b^2)} \end{eqnarray*}$ rausgekürzt wurde?!

Um das mal klarzustellen:
Ich hatte nicht beabsichtigt, $\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)^3}{(a^2+b^2)} \end{eqnarray*}$ rauszukürzen.
Mir war nur klargeworden, dass ich meinen ursprünglichen Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)^2}{(b-a)^2} \cdot \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ so umformen kann, dass folgendes übrig bleibt: $\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)^3}{a^2+b^2} \cdot \frac{a-b}{(b-a)^2} \end{eqnarray*}$

Dies musste dann nur noch weiter umgeformt werden zu $\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)^3}{a^2+b^2} \cdot \frac{1}{a-b} \end{eqnarray*}$

Somit ließ sich die Frage verkürzen auf den Rechenweg von $\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{(b-a)^2} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a-b} \end{eqnarray*}$ verkürzen.

Danke trotzdem für eure Hilfe!
Alexandra

05.09.2007, 21:33

MatheKind

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Gut, dann ist das Endergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)^3}{a^2+b^2} \cdot \frac{1}{a-b} \end{eqnarray*}$ .
Das wollte ich wissen. smile

L.G.
MatheKind

05.09.2007, 22:48

Alexandra87

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Zitat:

Original von MatheKind
Gut, dann ist das Endergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)^3}{a^2+b^2} \cdot \frac{1}{a-b} \end{eqnarray*}$ .

Stimmt genau.

---

Vielleicht kann mir auch jemand sagen, ob sich dieser term noch vereinfachen lässt:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+x+1}{\sqrt{x^2+x+2}+1} \end{eqnarray*}$

Ich bin der Meinung, an diesem Term lässt sich nichts vereinfachen.
Habs auch schon mal mit Derive ausprobiert - bleibt auch so wie's ist.
Kann ich die Aufgabe unter "Druckfehler" abstempeln oder gibts da tatsächlich eine Möglichkeit zur Vereinfachung?

05.09.2007, 22:52

mYthos

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Man kann den Nenner rational machen und danach kürzen!!!
Das Ergebnis ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2 + x + 2} - 1 \end{eqnarray*}$

Weisst du, warum?

mY+

05.09.2007, 22:56

WebFritzi

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Zitat:

Original von mYthos
Man kann den Nenner rational machen

Nur doof, wenn x nicht rational ist. Augenzwinkern

05.09.2007, 23:00

mYthos

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Also bitte, die Wurzel aus dem Nenner bringen! Hauptsache, du hast was zu mäkeln Augenzwinkern

Die Wurzel aus dem Nenner zu bringen, heisst im Schuljargon: Nenner rational machen, es ist halt so Big Laugh

mY+

05.09.2007, 23:04

WebFritzi

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LoL, war doch nur Spaß. Warmir schon klar, was gemeint ist. Augenzwinkern

05.09.2007, 23:11

mYthos

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Genau genommen bin ich bei dir, des is ja grad des Big Laugh

Wenn das x nicht mitspielt, kann der Nenner ja wirklich nicht rational werden. Sagen wir also doch lieber: Nenner wurzelfrei machen! Und jetzt können wir beruhigt schlafen gehen Big Laugh

mY+

05.09.2007, 23:24

Alexandra87

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Zitat:

Original von mYthos
Und jetzt können wir beruhigt schlafen gehen Big Laugh

noch nicht ganz: ich versuche die wurzel aus dem nenner zu bringen, scheiter aber immer wieder an der +1, irgendwie bleibt daher stänig eine wurzel hängen.

05.09.2007, 23:52

WebFritzi

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Wie im anderen Thread: 3. binomische Formel!

06.09.2007, 00:15

Alexandra87

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danke, jetzt gibt das ganze einen sinn!!!
ich hatte versucht, den nenner mit "wurzel+1" zu erweitern, aber mit "wurzel-1" sieht das natürlich viel besser aus. dann noch kürzen und schon steht ein tolles ergebnis da.

--

Danke nochmal an alle, die mir weitergeholfen haben!!! Wink

06.09.2007, 10:31

MatheKind

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Zitat:

Original von mYthos
Man kann den Nenner rational machen und danach kürzen!!!
Das Ergebnis ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2 + x + 2} - 1 \end{eqnarray*}$

Weisst du, warum?

mY+

Zitat:

Original von Alexandra87
danke, jetzt gibt das ganze einen sinn!!!
ich hatte versucht, den nenner mit "wurzel+1" zu erweitern, aber mit "wurzel-1" sieht das natürlich viel besser aus. dann noch kürzen und schon steht ein tolles ergebnis da.

Hallo,
wie kann man hier $\begin{eqnarray*} \frac{x^2+x+1}{\sqrt{x^2+x+2}+1} \end{eqnarray*}$ die dritte binomische Formel anwenden, wenn man den Nenner mit "Wurzel -1" erweitert?! verwirrt

L.G.
MatheKind

06.09.2007, 10:43

Alexandra87

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hier noch mal meine komplette lösung der aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+x+1}{\sqrt{x^2+x+2}+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(x^2+x+1) \cdot (\sqrt{x^2+x+2}-1)}{(\sqrt{x^2+x+2}+1) \cdot (\sqrt{x^2+x+2}-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(x^2+x+1) \cdot(\sqrt{x^2+x+2}-1)}{(x^2+x+2)-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(x^2+x+1) \cdot (\sqrt{x^2+x+2}-1)}{x^2+x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sqrt{x^2+x+2}-1 \end{eqnarray*}$

ich hoffe, das klärt alle fragen.

--
edit: so, jetzt habe ich hoffentlich alle klammern.

06.09.2007, 10:56

MatheKind

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Danke, jetzt habe ich es auch verstanden! smile

L.G.
MatheKind

06.09.2007, 11:00

Alexandra87

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bitte, dann wären ja alle klarheiten beseitigt Augenzwinkern

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