Vollständige Induktion mit Summenformel

08.03.2005, 10:27

Folliot

Vollständige Induktion mit Summenformel

Folgende Induktion ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N~(\frac{1}{2*(n+2)}-\frac{1}{2*(n+4)})=\frac{7}{24} - \frac{1}{2*(N+4)}- \frac{1}{2*(N+3)} \end{eqnarray*}$

Grundsätzliches Vorgehen bei einer Induktion ist mir soweit vertraut.

Eine Summe innerhalb der Formel verunsichert mich allerdings bereits.

Dabei ist der Induktionsanfang mit n=1 und N=1 noch klar.

Somit wäre:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2*(1+2)}-\frac{1}{2*(1+4)}=\frac{7}{24} - \frac{1}{2*(1+4)}- \frac{1}{2*(1+3)} \end{eqnarray*}$

gleich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}-\frac{1}{10}=\frac{7}{24} - \frac{1}{10}- \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{15}=\frac{1}{15} \end{eqnarray*}$

und somit korrekt.

Wie geht es allerdings nun im Induktionsschritt weiter?

aus $\begin{eqnarray*} n\Rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

Ich würde wie folgt einsetzen und bin mir genau darin unsicher ob der Induktionsschritt so korrekt vollzogen ist.
Zweifelhaft ist also ob ich die Summe im Induktionsschritt richtig umgesetzt habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2*(1+2)}-\frac{1}{2*(1+4)} + \frac{1}{2*((n+1)+2)}-\frac{1}{2*((n+1)+4)}=\frac{7}{24} - \frac{1}{2*((N+1)+4)}- \frac{1}{2*((N+1)+3)} \end{eqnarray*}$

Wer kann mir helfen? Vielen Dank schon mal vorab!

08.03.2005, 10:37

JochenX

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ich sehe sie summe nachher gar nicht mehr!?
kannst ja auch mal im workshop nachguggen zu dem thema, aber ganz allgemein sind summen sehr gut bei induktion....
denn siehe....

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}~f(i)=g(n) \end{eqnarray*}$ sei die induktionsvoraussetzung.
dann kannst du im induktionschritt deine summe von 1 bis n+1 so zerlegen $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1}~f(i)=\sum_{i=1}^{n}~f(i)+f(n+1)=... \end{eqnarray*}$
du kannst das hinzugekommene summenglied einfach abspalten und nun auf den vorherigen teil deine annahme anwenden.

klaro? kommst nun weiter?

08.03.2005, 10:56

kurellajunior

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RE: Vollständige Induktion mit Summenformel
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{2*(n+2)}-\frac{1}{2*(n+4)}\right) + \frac{1}{2*((n+1)+2)}-\frac{1}{2*((n+1)+4)}=\frac{7}{24} - \frac{1}{2*((N+1)+4)}- \frac{1}{2*((N+1)+3)} \end{eqnarray*}$
So sollte Deine Anahme Aussehen...

Denn die Hast Du ja für N=1 gezeigt...

08.03.2005, 11:20

Denjell

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muss im 2. Teil vor dem Gleichheitszeichen nicht N statt n stehen?

MfG

08.03.2005, 11:25

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Beweis einer Summenformel durch Vollständige Induktion
Ich würde die Formulierung

Zitat:

Original von Folliot
Folgende Induktion ist gegeben:

durch

Zitat:

Folgende Summenformel soll durch Vollständige Induktion bewiesen werden:

ersetzen. Ich weiß, es klingt "oberlehrerhaft" Lehrer

, aber nach meiner Erfahrung münden solche unsauberen Formulierungen irgendwann in massiven Verständigungsproblemen (und oft auch Verständnisproblemen).

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