absolut konvergente Reihe

08.03.2005, 11:02	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
absolut konvergente Reihe hallo zusammen... müsste bei folgender reihe absolute konvergenz zeigen. aus einem unerfindlichen grund komm ich jedoch nicht drauf wie $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty~\frac{2z}{z^{2} - k^{2}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z\in \end{eqnarray}$ C\Z (z ist Element der Menge der komplexen Zahlen ohne die ganzen Zahlen) besten dank im voraus für eure hilfe
08.03.2005, 11:43	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: absolut konvergente Reihe Ich hoffe ich liege jetzt nicht falsch. Eigentlich muß man nur den Betrag vom Nenner geeignet nach unten abschätzen, um eine konvergente Majorante zu finden. Ich würde das so machen: \|z² - k²\| >= \| k² - \|z\|² \| = k² - \|z\|² wenn k groß genug ist. Desweiteren ist 0,5*k² > \|z\|² wenn k groß genug ist. Diese Abschätzung noch einsetzen, das wär's.
08.03.2005, 14:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur so nebenbei. Das ist die berühmte Partialbruchzerlegung des Cotangens: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{2z}{z^2-n^2} \ = \ \pi \cot{\pi z} - \frac{1}{z} \end{eqnarray}$

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