Partialbruchzerlegung - Fall ?

08.03.2005, 15:15

Soldier

Partialbruchzerlegung - Fall ?

Hallo

(x² - 6x +12) / 14(x-1)³

soll per Partialbruchzerlegung integriert werden. Wie ist der Ansatz der Partialbrüche und welcher Fall ist das ? Muss ich den bruch noch erst ausmultiplizieren ??

Danke

PS: sorry wegen kein latex

08.03.2005, 15:51

iammrvip

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Hallo

Meinst du

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2 - 6x +12}{14(x-1)^3} \end{eqnarray*}$

verwirrt

Ja, ne

Dann musst du nich ausmultiplizieren.

Man muss beim Ansatz einfach nur alle möglichen Potenzen des Nenners berücksichtigen.

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2 - 6x +12}{14(x-1)^3} = \frac{A}{14(x-1)} + \frac{B}{14(x-1)^2} + \frac{C}{14(x-1)^3} \end{eqnarray*}$

08.03.2005, 16:04

Soldier

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Ja das meine ich ;>

ahchso also is das dann der 2. Fall, das die Faktoren beim Zerlegen doppelt oder merhfach auftreten. Und dann mit dem Koeffizeintenvergleich nur noch A B und C errechenen.
Kann mir vielleicht nochmal den Koeffizietenvergleich erklären, denn ich habe A und B immer nur durch Nullsetzten eines Faktor errechnet und das geht hier ja nicht...

08.03.2005, 17:04

Egal

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Hm. Partialbruchzerlegung ist ja nicht gerade mein Steckenpferd aber sollte man nicht irgendwie drauf achten das man die nötigen Potenzen auch nach erweitern auf (x-1)^3 noch hat? also statt dessen den Ansatz mit

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{14(x-1)}+\frac{Bx+C}{14(x-1)^2}+\frac{Dx^2+Ex+F}{14(x-1)^3} \end{eqnarray*}$

machen?

08.03.2005, 17:14

Soldier

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Bin ich mir nicht ganz sicher,aber ich glaube nicht. Zumindest fidne ich in den Büchern nicht sowas ;> stellen wir uns mal vor, dass der Ansatz wie iammrvip seiner aussieht.
Wie bestimme ich dann A B und C ?

* 14(x-1) * 14(x-1)² * 14(x-1)³ ??
und dann weiter ? Koeffizientenvergleich ?

08.03.2005, 17:17

Calvin

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@Egal

der Ansatz von iammrvip ist schon korrekt. Die nötigen Potenzen kommen dann in den Zähler, wenn man alles auf den Hauptnenner bringt.

08.03.2005, 18:59

iammrvip

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Zitat:

Original von Egal
Hm. Partialbruchzerlegung ist ja nicht gerade mein Steckenpferd

Man merkt's unglücklich

... sorry ist nicht bös gemeint.

Zitat:

Original von Soldier
Kann mir vielleicht nochmal den Koeffizietenvergleich erklären, denn ich habe A und B immer nur durch Nullsetzten eines Faktor errechnet und das geht hier ja nicht...

Der Ansatz stimmt schon keine Sorge.

Wir beseitigen erstmal auf der linken Seite den Nenner:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2 - 6x +12}{14(x-1)^3} &= \frac{A}{14(x-1)} + \frac{B}{14(x-1)^2} + \frac{C}{14(x-1)^3} ~ | ~ \cdot 14(x-1)^3 \\ x^2 - 6x +12 &= A(x-1)^2 + B(x-1) + C \end{eqnarray*}$

Jetzt multiplizierst du aus und ordnest dann. Alle $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ , alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und alles ohne x. Erstmal soweit Augenzwinkern

08.03.2005, 19:53

Egal

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Aber nicht doch ich hab ja nichts dagegen wenn ich auch was lerne nebenbei smile

Um so erfreuter bin ich das auch du Fehler machst. Aber das beim Kürzen mal die ein oder andere Potenz daneben gehen kann wie hier beim B ist wohl normal.

08.03.2005, 19:57

iammrvip

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Auh man

sorry ... hab wieder zu viel kopiert...

08.03.2005, 19:59

Soldier

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Zitat:

Original von iammrvip

Wir beseitigen erstmal auf der linken Seite den Nenner:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2 - 6x +12}{14(x-1)^3} &= \frac{A}{14(x-1)} + \frac{B}{14(x-1)^2} + \frac{C}{14(x-1)^3} ~ | ~ \cdot 14(x-1)^3 \\ x^2 - 6x +12 &= A(x-1)^2 + B(x-1)^2 + C \end{eqnarray*}$

Muss der "B-Partialbruch" nicht $\begin{eqnarray*} B(x-1)^1 \end{eqnarray*}$ heißen ??

08.03.2005, 20:04

Soldier

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Ach ja seh schon.... Augenzwinkern

Hab eure Posts wieder zu ungenau gelesen ^^

08.03.2005, 20:07

iammrvip

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Jetzt schön die Klammer auflösen und ordnen Freude

08.03.2005, 20:21

Soldier

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Also nachdem ich nun mühselig ausmultipliziert habe und georndet usw. ;> kam dies raus:

14\cdot A\cdot x^{2} - 28\cdot A\cdot x + 14\cdot B\cdot x + 14\cdot A - 14\cdot B + C

08.03.2005, 20:22

Soldier

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$\begin{eqnarray*} 14\cdot A\cdot x^{2} - 28\cdot A\cdot x + 14\cdot B\cdot x + 14\cdot A - 14\cdot B + C \end{eqnarray*}$
scheisse ich bin zu doof ;D

08.03.2005, 20:24

iammrvip

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Wo kommt denn die 14 überall her?? Die fällt doch beim Multiplizieren weg.

Du nimmst nur das

$\begin{eqnarray*} x^2 - 6x +12 &= A(x-1)^2 + B(x-1) + C \end{eqnarray*}$

und jetzt ausmultiplizieren.

Die ganze Malzeichen kannst du auch weglassen, dadruch wird unübersichtlich Augenzwinkern

08.03.2005, 20:25

Egal

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Und da war das Quadrat wieder

08.03.2005, 20:32

Soldier

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Ach natürlich...
$\begin{eqnarray*} A\cdot x^{2} - 2\cdot A\cdot x + B\cdot x + A -B + C \end{eqnarray*}$
so das sollte nun stimmen und nunf rag ich mich wie ich A B und C bestimme Hilfe

08.03.2005, 20:34

Egal

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Hatte vip ja bereits gesagt Quotientenvergleich. Das was links vorm Quadratischen Term steht muss das selbe sein wie rechts. Analog mim linearen und mim Restglied.
Das gibt dir 3 Gleichungen für deine 3 unbekannten.

08.03.2005, 20:44

Soldier

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Ich versteh nicht ganz wie das gemeint ist verwirrt

. Kannst du mir vllt nich ein Beispiel geben

08.03.2005, 20:46

Egal

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na beispiel
$\begin{eqnarray*} 3x^2+7x-4=Ax^2+(1-2B)x+2A-3B+C \end{eqnarray*}$

gelten
3=A
7=1-2B
und -4=2A-3B+C

Diese Vorgehensweise nennt man Quotientenvergleich.

08.03.2005, 20:54

Soldier

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bei mir wäre es dann also:
1 = A
6 = -2A + B
12 = A – B + C
?

08.03.2005, 20:55

iammrvip

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@Soldier
Also das geht so:

Du hast jetzt:

$\begin{eqnarray*} Ax^2 - 2Ax + A + Bx - B + C &= x^2 - 6x +12\\ Ax^2 + (-2A + B)x + (A - B + C) &= x^2 - 6x +12 \end{eqnarray*}$

Jetzt vergleichen wir alles was vor dem $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ , dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und ohne x also $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ steht auf der linken Seite der Gleichung steht mit dem was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daraus basteln wir ein Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} A &= 1 \\ -2A + B &= -6 \\ A - B + C &= 12 \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du das Gleichungssystem lösen. (A kann man direkt ablesen)

$\begin{eqnarray*} A = 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B = -4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} C = 7 \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2 - 6x +12}{14(x-1)^3} = \frac{1}{14(x-1)} - \frac{2}{7(x-1)^2} + \frac{1}{2(x-1)^3} \end{eqnarray*}$

08.03.2005, 21:10

Soldier

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Vielen Dank iammrvip, da shat mir echt super geholfen, aber ich glaub, dass in der ersten Zeile ein Fehler ist:
$\begin{eqnarray*} Ax^2 - 2Ax + A + Bx - A + C &= x^2 - 6x +12 \end{eqnarray*}$
Kann es sein, dass die Zeile so aussehen muss:
[latext]Ax^2 - 2Ax + A + Bx - B + C &= x^2 - 6x +12[/latext]
denn $\begin{eqnarray*} B\cdot (x-1) = Bx - B \end{eqnarray*}$ ?!
Aber dann weiss ich ja weiter ;D Vielen dank Mit Zunge

08.03.2005, 21:16

iammrvip

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guckst du nochmal Augenzwinkern

. war zu langsam...

08.03.2005, 21:19

Soldier

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Wie jetzt ?? verwirrt

08.03.2005, 21:19

iammrvip

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Ich mein das:

Zitat:

Original von iammrvip
@Soldier
Also das geht so:

Du hast jetzt:

$\begin{eqnarray*} Ax^2 - 2Ax + A + Bx - B + C &= x^2 - 6x +12\\ Ax^2 + (-2A + B)x + (A - B + C) &= x^2 - 6x +12 \end{eqnarray*}$

Jetzt vergleichen wir alles was vor dem $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ , dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und ohne x also $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ steht auf der linken Seite der Gleichung steht mit dem was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daraus basteln wir ein Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} A &= 1 \\ -2A + B &= -6 \\ A - B + C &= 12 \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du das Gleichungssystem lösen. (A kann man direkt ablesen)

$\begin{eqnarray*} A = 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B = -4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} C = 7 \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2 - 6x +12}{14(x-1)^3} = \frac{1}{14(x-1)} - \frac{2}{7(x-1)^2} + \frac{1}{2(x-1)^3} \end{eqnarray*}$

08.03.2005, 21:42

Soldier

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Achsoo ;D jo super Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{x^{2} - 6x +12}{12\cdot (x-1)^{3} } ~dx\ = \int~\frac{1} {14 \cdot (x-1)}dx - \int~\frac{2} {7 \cdot (x-1)^{2}}dx + \int~\frac{1} {2 \cdot (x-1)^{3}}dx\\<br /> = <br /> ln <br /> \frac{x-1}{14} - \frac{-2}{7\cdot (x-1} + \frac{-1}{4\cdot (x-1)^{2}} \end{eqnarray*}$

kommts so in etwa hin ??

08.03.2005, 21:43

iammrvip

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Ich glaub du hast dich jetzt mit LaTeX bisschen verschrieben. Hab's dir aber schon aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2 - 6x +12}{14(x-1)^3} = \frac{1}{14(x-1)} - \frac{2}{7(x-1)^2} + \frac{1}{2(x-1)^3} \end{eqnarray*}$

ist dann unsere Lösung Freude

08.03.2005, 21:47

Soldier

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Ja das haste ja schon geschrieben ;D
Aber nun noch das Integral davon machen.

Das was ich eben mit latex versucht habe entsprich schon meinem vorstellen, wenn du dir einfach alle <br\> wegdenkst ;D

08.03.2005, 21:52

iammrvip

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Ich schreib's dir nochmal auf:

Stammfunktion:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{1}{14}\ln|x-1| + \frac{2}{7(x-1)} - \frac{1}{4(x-1)^2} + C \end{eqnarray*}$

08.03.2005, 21:56

Soldier

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Ja so in etwas dachte ich mir das auch smile

Vielen dank an euch alle Gott

08.03.2005, 22:01

iammrvip

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Bidde schön smile

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