Extremum

05.09.2007, 20:04

Viktor

Extremum

Hi Leute,

ich habe eine Aufgabe mit der ich Probleme habe.

Von welchen Punkt des Graphen von f hat der Punkt Q den kleinsten Abstand?

f(x)=x^2
Q(0/1,5)

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Danke im Vorraus

05.09.2007, 20:15

MatheKind

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Gleichsetzen?
Bin da selbst ziemlich überfragt. Schon seit 2 Jahren nichts damit zu tun gehabt. Bin gerade dabei alles aufzufrischen.

LG

05.09.2007, 20:20

Viktor

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Es muss schon über ein Extremum gemacht werden, aber ich komm nicht auf die Bediengungen.

05.09.2007, 20:32

Frooke

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Du hast gegeben:

$\begin{eqnarray*} Q\left(0\left|\frac{3}{2}\right.\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x):=x^2 \end{eqnarray*}$

Definiere den Abstand zwischen einem Punkt auf dem Graphen von f und Q:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{dist}(x):=\sqrt{\left(x^2-\left(\frac{3}{2}\right)\right)^2+x^2} \end{eqnarray*}$

Oder noch eleganter. Beim Punkt, wo dist minimal ist muss gelten: $\begin{eqnarray*} T_{x_0}(x)\perp[Q,(x_0,f(x_0))] \end{eqnarray*}$ (also die Tangente an f in x0 ist senkrecht zur Strecke Q,(x0,f(x0))...

Du kannst Dir ja überlegen, wieviele Extrema Du finden wirst....

05.09.2007, 20:40

Viktor

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Um ehrlich zu sein, verstehe ich gerade Bahnhof, ich weiß doch nciht mal wie du da drauf gekommen bist und was dist(x) ist, ist mir auch ein Rätsel, ganz zu schweigen von den ganzen Symbolen am Ende.

unglücklich

05.09.2007, 20:47

Frooke

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Sorry

Wenn Du Dir eine Zeichnung machst, kannst Du allgemein die Distanz eines Punktes auf dem Graphen von Q darstellen mit Hilfe des Satzes von Pythagoras!

Dabei gilt:

$\begin{eqnarray*} d=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$

Dabei ist a die Differenz der x-Werte vom Punkt auf dem Graphen und Q, b ist die Differenz zwischen dem Funktionswert und dem y-Wert von Q.

Also

$\begin{eqnarray*} a:=x-0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b:=f(x)-\frac{3}{2}=x^2-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Wenn Du das einsetzt, kriegst Du eine Distanzfunktion (ich habe diese dist genannt), die abhängig ist von x, und die Du minimieren kannst.

Zum zweiten:

[a,b] bedeutet einfach die Strecke von a nach b und mit $\begin{eqnarray*} T_{x_0}(x) \end{eqnarray*}$ habe ich die Tangente in x0 an f gemeint...

So besser?

05.09.2007, 21:16

Viktor

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Es sei dir vergeben, vielen Dank.

05.09.2007, 21:20

WebFritzi

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Zitat:

Original von Frooke
Definiere den Abstand zwischen einem Punkt auf dem Graphen von f und Q:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{dist}(x):=\sqrt{\left(x^2-\left(\frac{3}{2}\right)\right)^2+x^2} \end{eqnarray*}$

Und dieser wird genau dann minimal, wenn sein Quadrat minimal wird. Man kann sich also die Wurzel sparen.

05.09.2007, 21:36

mYthos

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Zitat:

Original von MatheKind
Gleichsetzen?
Bin da selbst ziemlich überfragt. Schon seit 2 Jahren nichts damit zu tun gehabt. Bin gerade dabei alles aufzufrischen.

LG

@Mathekind
Wenn du zu dem Thema wenig bis keine Ahnung hast, glaubst du dann, dass dem Fragesteller diese deine Antwort wirklich weiterhilft?

mY+

05.09.2007, 22:05

WebFritzi

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@mYthos: Das habe ich mir verkniffen. Augenzwinkern

@Viktor: Hier nochmal, wie man den Abstand zwischen zwei Punkten erhält:

Im Bild siehst du die Punkte P(a,b) und Q(x,y), deren Abstand d zu ermitteln ist. Weiter siehst du einen rechten Winkel, der zu dem Dreieck PQR gehört. Die Strecke RP geht von der y-Koordinate y bis der y-Koordinate b. D.h., die Länge dieser Strecke ist b - y. Die Länge der Strecke QR ist a - x. Nach dem Satz des Pythagoras gilt

(QR)² + (RP)² = d². (d ist der Abstand von P und Q)

Also gilt

(a - x)² + (b - y)² = d².

Es folgt

$\begin{eqnarray*} d = \sqrt{(a - x)^2 + (b - y)^2}. \end{eqnarray*}$

Liegt der Punkt (x,y) auf der Kurve einer Funktion f(x), dann ist y = f(x), und der Abstand zu irgendeinem Punkt Q(p,q) ist nach obiger Formel:

$\begin{eqnarray*} d = \sqrt{(p - x)^2 + (q - y)^2} = \sqrt{(p - x)^2 + (q - f(x))^2}. \end{eqnarray*}$

Nehmen wir DEINEN Punkt Q(0,3/2) von oben und die Funktion f(x) = x², dann ist der Abstand von Q zu dem Punkt (x,f(x)) = (x,x²) gegeben durch

$\begin{eqnarray*} d = \sqrt{(0 - x)^2 + \left(\frac{3}{2} - f(x)\right)^2} = \sqrt{x^2 + \left(\frac{3}{2} - x^2\right)^2}. \end{eqnarray*}$

Kapiert?

05.09.2007, 22:24

mYthos

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Der kürzeste Abstand des Punktes von der Parabel ist durch die Normale vom Punkt auf die Parabel (exakt auf die Parabeltangente im Schnittpunkt) gekennzeichnet.

Mit dieser (Normaleneigenschaft) ist die Aufgabe in 3 bis 4 Zeilen gelöst.

[Kontr.: (1;1) und (-1;1)]

mY+

06.09.2007, 19:43

Viktor

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Vielen Dank, ich hatte gestern die Aufgabe auch über den Phytagoras gelöst, war leichter als angenommen.
Big Laugh

06.09.2007, 19:45

WebFritzi

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Dann schreib bitte deine Lösung für andere hier rein. Danke.

07.09.2007, 10:47

mYthos

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Da wird vielleicht nichts mehr kommen --- und der Pythagoras dürfte es auch nicht wirklich bringen.

Die Steigung der Parabeltangente im Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0;y_0) \end{eqnarray*}$ der Parabel $\begin{eqnarray*} y = x^2 \end{eqnarray*}$ lautet $\begin{eqnarray*} m_t = 2x_0 \end{eqnarray*}$ (1. Ableitung an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ), die der Normalen demzufolge $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2x_0} \end{eqnarray*}$ . Die Normale geht durch (0;1.5), lautet also

$\begin{eqnarray*} y = -\frac{1}{x_0} \cdot x + 1,5 \end{eqnarray*}$

Für den Schnittpunkt der Normalen mit der Parabel gilt $\begin{eqnarray*} x \to x_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {x_0}^2 = -\frac{1}{2x_0} \cdot x_0 + 1.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {x_0}^2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

07.09.2007, 11:40

WebFritzi

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Zitat:

Original von mYthos
--- und der Pythagoras dürfte es auch nicht wirklich bringen.

Na, den braucht man doch, um den Abstand zu berechnen. Insofern bringt der sehr wohl etwas. Augenzwinkern

07.09.2007, 11:51

mYthos

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Klar, der (Pyth) wurde jedoch (bei dir) mit der Distanzformel schon längst abgehandelt! Meine Aussage bezog sich nämlich auf die vorgeschlagene Methode mit der Normalen ...

mY+

07.09.2007, 14:42

Viktor

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Sorry, konnte gestern nicht mehr antworten.

Kann das ganze nicht zeichnen, aber ich habe mir folgende Größen erlaubt einzuführen.

d=Die gesuchte Strecke vom gegebenen Punkt, zu dem gesuchten Punkt
f(x)=Das ist die Funktion
x=abstand an der abszisse zum gesuchten Punkt an f(x)
Q=(0 / 3/2/)

Nebenbediengung ist d=\sqrt{x^{2} +(f(x)-1,5)}

Hauptbediengung ist f(x)=x^{2}

Jetzt setze ich die Hauptbediengung in die Nebenbediengung ein.

d^{2} =x^{2} + (x^{2} -1,5)

mache die erste Ableitung

d^{2}=4x

Dann Nullsetzen

x=4

Jetzt habe ich den Punkt auf der Abszisse raus, jetzt muss ich diesen in die Funktion f(x)=x^{2} einsetzten und bekommen den y Wert raus.

Ich hoffe, dass ihr es verstanden habt, den ich habe bei diesem Ansatz selber ein Problem und weiß noch nciht 100% ob dieser stimmt Big Laugh

07.09.2007, 15:00

WebFritzi

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Zitat:

Original von Viktor
Nebenbediengung ist d=\sqrt{x^{2} +(f(x)-1,5)}

Hauptbediengung ist f(x)=x^{2}

Mal ganz davon abgesehen, dass es soetwas wie eine Hauptbedingung nicht gibt (und wenn, dann heißt es bestimmt nicht Bediengung), finde ich es sehr schade, dass du scheinbar kein Stück auf unsere Beiträge geachtet hast. Vielleicht ist dir das noch nicht klar, aber ich z.B. habe mir Zeit genommen für dich. Deine Lösung ist falsch. Vor allem deshalb, weil die zu minimierende Funktion d bei dir falsch ist. Wir haben sie dir zweimal gegeben!

07.09.2007, 15:27

Viktor

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Das Problem ist, dass ich die Aufgabe über das Extremum rechnen muss.
Und dort muss man bediengungen aufstellen.
Zumindest wurde es uns so in der Schule erklärt.

Und außerdem habe ich ja auch die Bediengung genauso aufgestellt über den Phytagoras wie ihr es mir gesagt habt, entweder bin ich verpeilt, oder wir reden an einander vorbei.

07.09.2007, 15:36

WebFritzi

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Zitat:

Original von Viktor
Das Problem ist, dass ich die Aufgabe über das Extremum rechnen muss.
Und dort muss man bediengungen aufstellen.
Zumindest wurde es uns so in der Schule erklärt.

Und außerdem habe ich ja auch die Bediengung genauso aufgestellt über den Phytagoras wie ihr es mir gesagt habt, entweder bin ich verpeilt, oder wir reden an einander vorbei.

Wir reden aneinander vorbei, weil du meine Beiträge nicht liest. Ich habe dich eben gerade darauf aufmerksam gemacht und sehe jetzt schon wieder, dass du meinen Beitrag nicht sorgfältig gelesen hast. Sonst würdest du das Wort "Bedingung" endlich richtig schreiben. böse

07.09.2007, 16:00

Viktor

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Okay Bedingung Big Laugh

Sorry

07.09.2007, 16:02

WebFritzi

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OK. Jetzt schreib dir die Funktion d ordentlich ab und minimiere sie.

07.09.2007, 16:27

Viktor

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Also meine Funktion d, oder welche und was heist minimieren?

07.09.2007, 16:40

Frooke

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Du sollst das doch mit dem Extremum (hier eben Minimum) machen.

Die Funktion:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{dist}(x):=\sqrt{\left(x^2-\left(\frac{3}{2}\right)\right)^2+x^2} \end{eqnarray*}$

suchst Du also nach Extremstellen ab: Da diese Stellen aber gleich bleiben, wenn Du die Wurzel weglässt (wieso?), dann wird das viel einfacher: Minimiere also

$\begin{eqnarray*} (\operatorname{dist}(x))^2=:M(x):=\left(x^2-\left(\frac{3}{2}\right)\right)^2+x^2 \end{eqnarray*}$

EDIT: Habe einfacher gross geschrieben... Hammer

07.09.2007, 18:03

Viktor

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Sicherlich bin ich für euch ein ganz besonderer Fall der mathematischen Looser.

Also jetzt habe ich ja dieses sog. dist(x)=...

Um nach dem Extremum zu untersuchen muss ich doch die erste Ableitung bilden und diese Nullsetzten, oder habe ich das falsch verstanden.

Sorry das ich euch diese Umstände mache, aber ich stehe gerade echt auf dem Schlauch, muss es aber trotzdem schaffen.
Wäre nett wenn ihr mir noch ein wenig Gedult entgegen bringen würdet.

07.09.2007, 18:10

WebFritzi

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Zitat:

Original von Viktor
Um nach dem Extremum zu untersuchen muss ich doch die erste Ableitung bilden und diese Nullsetzten, oder habe ich das falsch verstanden.

Nein, das hast du ganz richtig verstanden.

P.S.: Es heißt "Geduld". Augenzwinkern

07.09.2007, 18:24

Viktor

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$\begin{eqnarray*} d^{2} =(x^{2} -(\frac{3}{2} ))^{2} +x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d^{2} =4x(x^{2} -(\frac{3}{2} ))+2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=4x^{3} -\frac{12x}{2} +2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O=x(4x^{2} -4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=4x^{2} -4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4=4x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 =x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{1} \end{eqnarray*}$

07.09.2007, 18:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von Viktor
$\begin{eqnarray*} 1 =x^{2} \end{eqnarray*}$

Prinzipiell ok. Nur hat diese Gleichung zwei Lösungen. Augenzwinkern

EDIT: Und noch was formales:

Zitat:

Original von Viktor
$\begin{eqnarray*} d^{2} =4x(x^{2} -(\frac{3}{2} ))+2x \end{eqnarray*}$

Das ist nicht d², sondern die Ableitung davon. Besser wäre es, die Funktion d²(x) mit f(x) zu bezeichnen. Dann ist obiges f'(x).

07.09.2007, 18:42

Viktor

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Das war es doch aber noch nicht, ich habe ja jetzt den x Wert, ich muss doch noch den x-Wert in die f(x)=x^2 einsetzten.

07.09.2007, 18:49

klarsoweit

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Also das sollte nun wirklich kein Problem sein. Und genau genommen mußt du noch die Art des Extremums mit der 2. Ableitung prüfen.

07.09.2007, 18:53

Viktor

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Okay. mit der Frage wollte ich nur sicher gehen, vielen dank, ihr seid echt hilfsbereit.

07.09.2007, 21:30

WebFritzi

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Du hast eine Lösung vergessen...

x = 1 ist nicht die einzige Lösung.

07.09.2007, 22:58

Viktor

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Ja gut, wenn ich aus 1 die Wurzel ziehe ergibt sich +/- 1

Wenn ich 1 in die 2te Ableitungeinsätze einsätze

$\begin{eqnarray*} d^2=2+8x^{3} (x^{2} -(\frac{3}{2} )) \end{eqnarray*}$

Dann ergibt sich d^2=-10<0 und somit ein Hockpunkt.

Setzt man hingegen -1 ein, dann erhält man 14>0 und somit ein Tiefpunkt

Welches dieser Ergebnisse ist richtig und wie kann ich es rausfinden.

07.09.2007, 23:57

mYthos

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Die 2. Ableitung stimmt bei dir keinesfalls. Wie kommst du denn auf diese? Sie ist doch einfach

$\begin{eqnarray*} \ldots = 12x^2 - 4 \end{eqnarray*}$

Setze dort dann mal $\begin{eqnarray*} \pm \ 1 \end{eqnarray*}$ ein. Übrigens, es soll sich an diesen Stellen ein Minimum ergeben, und daher muss die 2. Ableitung für diese zwei x-Werte positiv sein!

mY+

08.09.2007, 11:09

Viktor

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08.09.2007, 11:12

Viktor

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Sorry ich habe meinen Fehler.
OK

THX

08.09.2007, 11:18

Viktor

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Nun, es ist egal welchen Wert man einsetzt, da die Variable ein Quadrat hat, wird das -1 wieder positiv.
es kommt immer 8 raus ist größer Null, ist also ein Tiefpunkt.

08.09.2007, 11:36

Frooke

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Richtig! In solchen Fällen kann man eigentlich aber auch ohne die zweite Ableitung argumentieren: Dass Du in x=0 ein lokales Maximum hast ist ja offensichtlich - dass es ansonsten keine lokalen Maxima geben kann kannst Du Dir auch überlegen. Oftmals ist es gar nicht notwendig, mit der zweiten Ableitung zu prüfen...

Aber es ist auch in Ordnung, damit die Ergebnisse zu prüfen.

mfg

08.09.2007, 11:45

Viktor

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Das war eine schwere Geburt, aber ich habe zum ersten mal gepeilt, was ich überhaupt mit den Extremwerten alles anfangen kann, außer schlechte Noten zu kassieren.

Danke Leute Prost

08.09.2007, 13:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von Viktor
Ja gut, wenn ich aus 1 die Wurzel ziehe ergibt sich +/- 1

Ganz klar falsch. Wenn du aus 1 die Wurzel ziehst, dann ist und bleibt das 1.
Die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2 = 1 \end{eqnarray*}$ hingegen hat die Lösungen $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt 1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Viktor
$\begin{eqnarray*} d^2=2+8x^{3} (x^{2} -(\frac{3}{2} )) \end{eqnarray*}$

Auch das hatte ich schon bemängelt. d²(x) ist die ursprüngliche Funktion und stellt das Quadrat des Abstandes dar. d²(x) kann man demzufolge nicht als Bezeichnung für die 1. oder 2. Ableitung verwenden.

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