Vertauschbarkeit von Integral und Ableitung

05.09.2007, 22:50

Kubix

Vertauschbarkeit von Integral und Ableitung

Hallo alle

Ich bin auf der Suche nach Sätzen über die Vertauschbarkeit von Integralen und Ableitungen
also

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \int_{b}^{a}~f(x,y)~dy = \int_{b}^{a}~ \frac{d}{dx} f(x,y)~dx \end{eqnarray*}$

bei Lebesgue Integralen.

Sätze über Vertauschbarkeit von Limes und Integralen kenn ich den Satz über Majorisierte Konvergenz sowie Satz über Monotone Konvergenz und irgend so ein Satz für riemann Integrale, dass wenn eine Funktionenfolge {fn} n e N gleichmässig gegen f Konvergiert, das dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \int_{}^{}~ f_{n}(x)~dx = \int_{}^{}~ \lim_{n \to \infty} f_{n}(x)~dx \end{eqnarray*}$

aber gibts bessere Sätze als die?

Ich habe mir angewöhnt, dass ich Integrals Vertausche wenn es mir passt und den Schritt mit einem Kommentar "müsste verifiziert werden" oder so versehe.. Meistens haut das zwar hin, aber naja, manchmal eben auch nicht. Und es ist einfach unsauber. Drum wollt ich mein Wissen da mal bisschen aufarbeiten.

Danke für antworten

06.09.2007, 19:09

20_Cent

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Ich meine mich zu erinnern, dass wir da was hatten, habe aber mein Skript grade nicht griffbereit... Hast du schonmal in nem Buch nachgeguckt?

06.09.2007, 23:06

Kubix

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RE: Vertauschbarkeit von Integral und Ableitung
ich hab mal bisschen gegoogelt und alte skripten durchgekramt, aber nichts besonders brauchbares gefunden. Nichts besseres als Sätze über Grenzwerte

06.09.2007, 23:57

20_Cent

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Wir haben hier was, ich tippe das mal eben ab:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} D \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ offen und $\begin{eqnarray*} f: D \times \mathbb R^n \to \mathbb R, (x,t) \mapsto f(x,t) \end{eqnarray*}$ , eine Funktion, so dass die Abbildung

(i) $\begin{eqnarray*} t \mapsto f(x,t) \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ Lebesque-integrierbar ist,
(ii) $\begin{eqnarray*} x \mapsto f(x,t) \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist für alle $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ bis auf eine Nullmenge.

Wenn es eine integrierbare Funktion $\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb R^n \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt, so dass für alle $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,.)\right| \leq \phi \end{eqnarray*}$ fast überall,

dann ist die Funktion $\begin{eqnarray*} F: D \to \mathbb R, x \mapsto \int f(x,t) d\mathbb{\lambda}(t) \end{eqnarray*}$ ,

differenzierbar mit der Ableitung $\begin{eqnarray*} F'(x)=\int \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)d\mathbb{\lambda}(t) \end{eqnarray*}$

Wir haben dann noch das gleiche mit partieller Diffbarkeit, also D Teilmenge von R^p, bzw. mit totaler Diffbarkeit. Das geht ganz analog.
Ich hoffe das nützt dir was.
mfg 20

07.09.2007, 09:42

Gnu

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Benutzt aber beim Beweis in letzter Instanz wohl wieder den Satz von Lebesgue, allein wegen der geforderten Majorante, d.h. an den Voraussetzungen kann man sich auch nicht vorbei mogeln, es wird allenfalls ein bisschen schematisierter.
Ausser diesen Grenzwertsätzen sind mir leider auch keine bekannt.

07.09.2007, 13:18

20_Cent

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@Gnu: Aber das ist doch hier nicht relevant, Kubix wollte ja den Satz haben, damit er dann die Vertauschung beweisen kann, und das geht eben mit den Voraussetzungen...

07.09.2007, 14:00

Gnu

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Vielleicht haben wir seinen Post unterschiedlich aufgefasst, als er fragte ob es "bessere Sätze als diese [Lebesgue, monotone Konvergenz, glm. Konvergenz bei Riemann-Integralen]" gibt, dachte ich dass er nach Sätzen sucht die mit weniger Voraussetzungen/unter schwächeren Voraussetzungen funktionieren.

07.09.2007, 20:27

20_Cent

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RE: Vertauschbarkeit von Integral und Ableitung

Zitat:

Original von Kubix
Ich habe mir angewöhnt, dass ich Integrals Vertausche wenn es mir passt und den Schritt mit einem Kommentar "müsste verifiziert werden" oder so versehe.. Meistens haut das zwar hin, aber naja, manchmal eben auch nicht. Und es ist einfach unsauber. Drum wollt ich mein Wissen da mal bisschen aufarbeiten.

Hier steht, dass er keine Sätze kennt, zum vertauschen.
Den Satz von Lebesgue (ich kenne den nicht, nur ein Lemma von L., könnte das gleich sein.) erwähnt er gar nicht.

mfg 20

07.09.2007, 21:08

Gnu

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RE: Vertauschbarkeit von Integral und Ableitung

Zitat:

Original von Kubix
Sätze über Vertauschbarkeit von Limes und Integralen kenn ich den Satz über Majorisierte Konvergenz sowie Satz über Monotone Konvergenz und irgend so ein Satz für riemann Integrale, dass wenn eine Funktionenfolge {fn} n e N gleichmässig gegen f Konvergiert, das dann

Naja, irgendwie stehts doch da Augenzwinkern

Satz von Lebesgue ist der Satz von der majorisierten/dominierten Konvergenz. Dozent sagte bei uns immer majorisierte, beim Übungsleiter wars der Satz von Lebesgue und in Stochastik 2...ich weiß net wie er da genannt wurde aber auch irgendwie.
Lemma von Lebesgue kenn ich nur eins über Fourierreihen, aber darum gehts ja nicht.

Man könnte noch das Lemma von Fatou anführen wenn man Konvergenzsätze des Lebesgue-Integrals abhandelt, aber ob einem das so wirklich bei Ableitungen weiterhilft weiß ich nicht, vermute fast nicht.

08.09.2007, 01:07

20_Cent

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Versteh ich nicht... Diese Sätze handeln doch davon, dass man den Grenzwert reinziehen darf, also wenn da ne Funktionenfolge im Integral steht. Was hat das denn mit der Ableitung zu tun? Oder funktionieren die auch für beliebige andere Grenzwerte (also auch den der Ableitung)? Das wäre mir aber neu...
mfg 20

08.09.2007, 01:09

WebFritzi

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Zitat:

Original von 20_Cent
Versteh ich nicht... Diese Sätze handeln doch davon, dass man den Grenzwert reinziehen darf, also wenn da ne Funktionenfolge im Integral steht. Was hat das denn mit der Ableitung zu tun?

Differentialquotient von

$\begin{eqnarray*} x\mapsto\int f(x,t)\,dt. \end{eqnarray*}$

08.09.2007, 12:42

20_Cent

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Naja, wie gesagt:

Zitat:

Oder funktionieren die auch für beliebige andere Grenzwerte (also auch den der Ableitung)? Das wäre mir aber neu...

mfG 20

08.09.2007, 14:08

WebFritzi

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Es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}f(x) = y \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn für jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}x_n = a \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f(x_n) = y. \end{eqnarray*}$

05.12.2016, 10:59

Arvid

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Zitat:

Könnte jemand kurz einen Beweis für diesen Satz zeigen/verlinken? Ist mir nämlich ganz neu/finde ich auch sonst nirgendwo.

Danke smile

05.12.2016, 11:27

Guppi12

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Hallo Arvid,

siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Parameteri...meterintegralen

Lass dich nicht von den allgemeinen Begriffen abschrecken, falls die dir nichts sagen. Der Banachraum $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ist hier einfach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ und der Maßraum $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist hier $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .

Schau mal, ob du mit dem Stichwort einen Beweis finden kannst.

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