Beweis p^2-1

06.09.2007, 00:31

Alexandra87

Beweis p^2-1

Hallo,

ich bräuchte die Lösung zweier Beweise bzw. Lösungswege und/oder Hilfen, wie ich auf die Lösung kommen kann:

Zeige, dass die Zahl $\begin{eqnarray*} p^2-1 \end{eqnarray*}$
a) für jede ungerade ganze Zahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 8 \end{eqnarray*}$ teilbar ist.
b) für jede Primzahl $\begin{eqnarray*} p>3 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 24 \end{eqnarray*}$ teilbar ist.

Ich weiß leider momentan überhaupt nicht, wie ich da ansetzen könnte.

06.09.2007, 00:34

kiste

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Was hast du den schon dazu überlegt?
Zur a) kannst du doch einfach mal die Definition einer ungeraden ganzen Zahl einsetzen und schauen ob du was siehst

06.09.2007, 00:34

tigerbine

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RE: Beweis p^2-1
1. Was kennzeichnet eine ungerade Zahl?

2. Was kennzeichnet die Teilbarkeit durch 8?

06.09.2007, 00:53

WebFritzi

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Tipp zu (b): Mit Teil (a) gilt p² - 1 = 2 * 2 * 2 * q mit einer natürlichen Zahl q. Auch die Zahl q hat eine Primfaktorzerlegung. Um die Behauptung zu zeigen, musst du nur noch zeigen, dass p² - 1 durch 3 teilbar ist, denn dann ist auch q durch 3 teilbar, und es gilt

p² - 1 = 2 * 2 * 2 * (3 * r) = 24 * r

mit irgendeiner nat. Zahl r. Also ist p² - 1 durch 24 teilbar.

06.09.2007, 01:00

Alexandra87

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zu a) eine ungerade zahl lässt sich darstellen als $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ .

das eingesetzt: $\begin{eqnarray*} p^2-1=(2n+1)^2-1=((2n)^2+4n+1)-1=4n^2+4n \end{eqnarray*}$

und das wiederum durch $\begin{eqnarray*} 8 \end{eqnarray*}$ geteilt: $\begin{eqnarray*} \frac{4n^2+4n}{8}=\frac{n^2+n}{2}=\frac{n*(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

aber wie mache ich jetzt weiter und wie schreibe ich das ganze als "schönen" beweis?

hat dieses $\begin{eqnarray*} \frac{n*(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ etwas zu tun mit der summenformel von gauß $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i=1+2+3+...+n=\frac{n*(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ ?

06.09.2007, 01:06

WebFritzi

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Ja, auch. Und die Summe ist natürlich eine natürliche Zahl. Das war's dann auch schon. Oder anders: Eine der beiden Zahlen n und n+1 ist ja sicher gerade. also ist n(n+1)/2 eine natürliche Zahl.

Am Ende von (b) hat man eine ähnliche Argumentation.

P.S.: Ich mag die Aufgabe.

06.09.2007, 01:07

Alexandra87

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Zitat:

Original von WebFritzi
Tipp zu (b): Mit Teil (a) gilt p² - 1 = 2 * 2 * 2 * q mit einer natürlichen Zahl q. Auch die Zahl q hat eine Primfaktorzerlegung. Um die Behauptung zu zeigen, musst du nur noch zeigen, dass p² - 1 durch 3 teilbar ist, denn dann ist auch q durch 3 teilbar, und es gilt

p² - 1 = 2 * 2 * 2 * (3 * r) = 24 * r

mit irgendeiner nat. Zahl r. Also ist p² - 1 durch 24 teilbar.

das versteh ich jetzt nur teilweise. q müüste demnach doch eine primzahl sein - die wiederum kann ja wohl schlecht durch 3 teilbar sein. könntest du das bitte etwas genauer erklären?

06.09.2007, 01:12

tigerbine

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Zunächst einmal musst du erwähnen, aus welcher Zahlenmenge das n stammt. Besonders kritisch ist die Wahl von n, da diese dem Leser (aus Gewohnheit) eine natürliche Zahl zu suggerieren vermag. Wir benötigen jedoch eine ganze Zahl.

Eine ungerade Zahl p besitzt also eine Darstellung der Art:

$\begin{eqnarray*} p = 2n+1,~n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Das setzt Du nun richtig ein:

$\begin{eqnarray*} p^2-1=(2n+1)^2-1=((2n)^2+4n+1)-1=4n^2+4n = 4\cdot (n^2+n) \end{eqnarray*}$

Es ist also (p²-1) schon einmal durch 4 teilbar. Bleibt zu zeigen, dass die Zahl

$\begin{eqnarray*} n^2+n = n(n+1) \end{eqnarray*}$

durch 2 teilbar (also gerade) ist. Nun folgen aber doch n und n+1 direkt aufeinander. Was fällt dir dazu ein?

06.09.2007, 01:31

Alexandra87

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dadurch, dass n und (n+1) direkt aufeinander folgen, ist eine der beiden zahlen gerade und damit durch zwei teilbar.
d.h. p^2-1 ist durch 4*2 also durch 8 teilbar.

q.e.d.

Danke! smile

aufgabenteil a) ist damit gelöst!

wenn ich b) und die kommentare von WebFritzi dazu jetzt richtig verstehe, dann gilt:

p^2-1 ist durch 8 teilbar (aus a). demnach muss jetzt nur noch gezeigt werden, dap^2-1 durch 3 teilbar ist für jede primzahl p>3.
dann wäre das ganze nämlich durch 8*3=24 teilbar.
stimmt die überlegung soweit? wie kann man das mit der teilbarkeit durch 3 dann beweisen?

06.09.2007, 01:37

tigerbine

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Als erstes gilt nun einmal, da p prim mit p > 3, dass es sich bei p um eine ungerade Zahl handelt. du nutzt also Aufgabe a), und faktorisierst

$\begin{eqnarray*} p²-1 = 2^3 \cdot q \end{eqnarray*}$

Somit bleibt zu zeigen, dass q durch 3 teilbar ist. Das folgt aufgrund der bisherigen Faktorisierung aber direkt aus der Eigenschaft, dass p durch 3 teilbar ist.

Das war bislang aber nur die Wiederholung dessen was WF schon sagte. Welche Rolle spielt es, dass p auch noch prim ist? und an was erinnert dich

a²-b² = ...

06.09.2007, 01:45

Alexandra87

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Zitat:

Original von tigerbine
Somit bleibt zu zeigen, dass q durch 3 teilbar ist. Das folgt aufgrund der bisherigen Faktorisierung aber direkt aus der Eigenschaft, dass p durch 3 teilbar ist.

Das war ja genau das, was ich eben nochmal versucht habe zuammenzufassen.

Zitat:

Original von tigerbine
Das war bislang aber nur die Wiederholung dessen was WF schon sagte.

richtig, danke nochmal, ich hatte aber wie schon gesagt die erklärung von webfritzi nicht ganz verstanden.
ich denke, bis zu dem punkt, dass $\begin{eqnarray*} p^2-1=8 \cdot q \end{eqnarray*}$ ist und nun zu zeigen ist, dass q durch 3 teilbar ist, sollte die aufgabe nun klar sein.

nur wie zeige ich, dass q durch 3 teilbar ist?

Zitat:

Original von tigerbine
Welche Rolle spielt es, dass p auch noch prim ist?

keine ahnung, höchstens dass p damit ungerade ist.
aber irgend einen sinn wird das mit der primzahl wohl schon haben...

Zitat:

Original von tigerbine
und an was erinnert dich

a²-b² = ...

3. binomische formel a^2-b^2=(a-b)(a+b), aber was hat das mit der aufgabe zu tun??

06.09.2007, 01:48

WebFritzi

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Zitat:

Original von Alexandra87
dadurch, dass n und (n+1) direkt aufeinander folgen, ist eine der beiden zahlen gerade und damit durch zwei teilbar.
d.h. p^2-1 ist durch 4*2 also durch 8 teilbar.

q.e.d.

Danke! smile

Ähm,das hatte ich dir vorher schon lange geschrieben. Lies bitte die Beiträge, die für dich geschrieben werden, genauer.

06.09.2007, 01:48

tigerbine

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1.Wie schon erwähnt, man zeigt nicht direkt das q teilbar durch 3 ist, sondern, dass p²-1 teilbar durch 3 ist.

2. Probier halt mal, ob es für eine ungerade Nichtprimzahl auch stimmt

3. Nun muss mal was von deiner seite an Ideen kommen

Idee!

EDIT: p ->p²-1 Hammer

06.09.2007, 01:50

WebFritzi

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p² - 1 = p² - 1².

06.09.2007, 02:05

Alexandra87

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hab das schon gelesen. nur wollte ich das im zusammenhang nochmals zusammenfassen.
danke dir.
ich hatte nur deine anfängliche argumentation mit "r" nicht verstanden bzw. tue dies immer noch nicht.

--

das p^2-1=(p-1)(p+1) ist, ist mir klar, nur weiß ich nicht, was das bringen soll?!

06.09.2007, 02:11

Alexandra87

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Zitat:

Original von tigerbine
1.Wie schon erwähnt, man zeigt nicht direkt das q teilbar durch 3 ist, sondern, dass p teilbar durch 3 ist.

ok, aber wie?
wie kann eigentlich p durch 3 teilbar sein? p ist doch eine primzahl?!

Zitat:

Original von tigerbine

2. Probier halt mal, ob es für eine ungerade Nichtprimzahl auch stimmt

3. Nun muss mal was von deiner seite an Ideen kommen
Idee!

stimmt natürlich nicht. daher würd ich vorschlagen, dass man vielleicht ausnutzen könnte, dass sich eine primzahl als 4n+1 oder 4n+3 darstellen lässt, bzw. eine primzahl > 3 sich als 6n+1 oder 6n+5 darstellen lässt.
hilft das weiter?

06.09.2007, 02:15

WebFritzi

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Zitat:

Original von Alexandra87

Zitat:

Original von tigerbine
1.Wie schon erwähnt, man zeigt nicht direkt das q teilbar durch 3 ist, sondern, dass p teilbar durch 3 ist.

ok, aber wie?
wie kann eigentlich p durch 3 teilbar sein? p ist doch eine primzahl?!

Sie meinte natürlich p² - 1 anstatt p.

Es wurden dir nun schon genug Hinweise gegeben. Jetzt solltest du langsam selber drauf kommen...

06.09.2007, 02:18

WebFritzi

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Zitat:

Original von Alexandra87
hab das schon gelesen. nur wollte ich das im zusammenhang nochmals zusammenfassen.
danke dir.

Achso, sorry. Ich dachte, du wärst erst nach tigabienes Hinweis darauf gekommen, obwohl ich es ja fast genauso schonmal geschrieben hatte.

06.09.2007, 02:19

tigerbine

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1. es muss p²-1 heissen. Sorry. Habe es editiert.

2. $\begin{eqnarray*} 9²-1 = 80 = 2^4\cdot 5 \end{eqnarray*}$ , scheint also schon wichtig zu sien, dass p prim ist.

3. http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl#Ei..._von_Primzahlen

Da bist Du auf der richtigen Spur.

@ WebFritzi
Ich war da eben nicht so schnell mit dem Tippen. Dachte ja, dass Du dich auf b) "gestürzt" hast. Mit WF habe ich dich später wohl zitiert?.... verwirrt

Was b) angeht...

06.09.2007, 02:26

Alexandra87

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ok, ich hab evtl. die lösung.
stimmt das so?

eine primzahl > 3 lässt sich als $\begin{eqnarray*} 6n+1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 6n+5 \end{eqnarray*}$ darstellen.

somit gilt für $\begin{eqnarray*} p^2-1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (6n+1)^2-1=36n^2+12n+1-1=36n^2+12n \end{eqnarray*}$ ist teilbar durch 3

$\begin{eqnarray*} (6n+5)^2-1=36n^2+60n+25-1=36n^2+60n+24 \end{eqnarray*}$ ist teilbar durch 3

damit ist $\begin{eqnarray*} p^2-1 \end{eqnarray*}$ teilbar durch 3

zusammen mit aufgabenteil a) ist $\begin{eqnarray*} p^2-1 \end{eqnarray*}$ teilbar durch $\begin{eqnarray*} 8 \cdot 3 = 24 \end{eqnarray*}$

06.09.2007, 02:29

Alexandra87

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Zitat:

Original von tigerbine
1. es muss p²-1 heissen. Sorry. Habe es editiert.

kein problem.

Zitat:

Original von tigerbine

2. $\begin{eqnarray*} 9²-1 = 80 = 2^4\cdot 5 \end{eqnarray*}$ , scheint also schon wichtig zu sien, dass p prim ist.

genau das beispiel hatte ich auch ausprobiert. hab ja schon geschrieben, dass es mit einer ungeraden nichtprimzahl nicht funktioniert.

Zitat:

Original von tigerbine
3. http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl#Eigenschaften_von_Primzahlen

Da bist Du auf der richtigen Spur.

die seite hab ich schon die ganze zeit in einem anderen tab meines browsers geöffnet Augenzwinkern

06.09.2007, 02:38

tigerbine

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Immer auch das offensichtlich noch hinschreiben. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} (6n+1)^2-1=36n^2+12n+1-1=36n^2+12n = 3 \cdot (12n^2+4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (6n+5)^2-1=36n^2+60n+25-1=36n^2+60n+24 = 3 \cdot (12n^2+20n+8) \end{eqnarray*}$

=> 3 teilt p²-1 => 3 teilt q => 24 teil p²-1

06.09.2007, 02:45

Alexandra87

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danke!!

06.09.2007, 03:38

WebFritzi

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Hier mein Weg:

p² - 1 = (p - 1)(p + 1).

Da p nicht teilbar durch drei ist, eine der Zahlen p - 1, p und p + 1 aber teilbar durch drei sein muss, ist entweder p - 1 oder p + 1 teilbar durch 3. Also ist p² - 1 teilbar durch 3.

Find ich etwas eleganter, so ohne "plumpes" Rechnen. Augenzwinkern

06.09.2007, 12:36

tigerbine

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Und einen weiteren Vorteil hat die Anwendung der binomischen Formel. Bei der Rechenvariante (so schlimm ist des jetzt nicht), greifst Du auch eine Eigenschaft von Primzahlen zurück, die (im Grunde noch beweisen werden sollte).

06.09.2007, 12:47

Alexandra87

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Zitat:

Original von tigerbine
Und einen weiteren Vorteil hat die Anwendung der binomischen Formel. Bei der Rechenvariante (so schlimm ist des jetzt nicht), greifst Du auch eine Eigenschaft von Primzahlen zurück, die (im Grunde noch beweisen werden sollte).

kann man die eigenschaften nicht voraussetzen? die sind doch schon bewiesen.

06.09.2007, 12:52

tigerbine

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Das kommt immer darauf an. In der Schulmathe, wenn es nicht in deinem Schulbuch steht, nein. Ohne Quelle geht imho strenggenommen nix.

Wenn man für einen Wettbewerb trainiert, sollte man sich nicht zu schade sein, quellen oder beweise anzugeben. Ein einfach "das weiß doch jeder" kommt nicht gut, vor allem da du es ja selber bei wiki gefunden hast.

Es ist natürlich immer eine Gratwanderung und vieles hängt davon ab, für wen man schreibt.

06.09.2007, 12:59

Alexandra87

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Zitat:

Original von tigerbine
Das kommt immer darauf an. In der Schulmathe, wenn es nicht in deinem Schulbuch steht, nein. Ohne Quelle geht imho strenggenommen nix.

Wenn man für einen Wettbewerb trainiert, sollte man sich nicht zu schade sein, quellen oder beweise anzugeben. Ein einfach "das weiß doch jeder" kommt nicht gut, vor allem da du es ja selber bei wiki gefunden hast.

Es ist natürlich immer eine Gratwanderung und vieles hängt davon ab, für wen man schreibt.

ok, danke.
ich mache das als mathe-vorbereitungskurs für die uni.
habe leider zu spät erfahren, dass ein solcher kurs stattfindet, sodass ich in meinem studienort noch kein zimmer habe (bzw. erst zum 1.10. einziehen kann).
jetzt lade ich mir die aufgaben aus dem internet - werden immer kurz zeitversetzt online gestellt - und mache sie zur übung für mich.
daher kann ich selbst entscheiden, was ich bearbeite und wie ausfühlich.
ich muss nichts abgeben oder so!
ist eben nur ein nachteil, dass ich allein zu hause die aufgaben machen muss, während in diesem kurs die meisten aufgaben in gruppen bearbeitet werden.
außerdem gibt es dort im nachhinein auch lösungen, die mir (momentan zumindest) nicht zur verfügung stehen.
aber zu deiner beruhigung: ich habe im rahmen einer jugend forscht arbeit die eigenschaften von primzahlen (4n+1 und 4n+3) mal bewiesen.

06.09.2007, 13:04

tigerbine

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Es geht nicht um meine Beruhigung. In der Uni solltet ihr im Grunde bei 0 anfangen. Klar hat der eine mehr, der andere weniger Vorwissen. Ist ja auch nicht schlimm.

Was ich sagte meine ich als Tipp auch für die Uni Übungsaufgaben. Es zeugt imho nicht von Unwissenheit, wenn man Sätze nennt, oder ausführlich schreibt. In der Übung fragen die wenigsten nach, auch wenn sie es nicht verstanden haben. Und dann versucht man daheim die Lücken zu füllen, die der Vortragende durch Nennung eines Satzes oder Zwischenschrittes häte leicht schließen können.

Auch machst Du es den Korrektoren leichter. Überspringen geht schneller als Nachschlagen Lesen2

06.09.2007, 13:17

Alexandra87

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Zitat:

Original von tigerbine
Es geht nicht um meine Beruhigung. In der Uni solltet ihr im Grunde bei 0 anfangen. Klar hat der eine mehr, der andere weniger Vorwissen. Ist ja auch nicht schlimm.

stimmt schon, nur setzen die alles, was in dem 4wöchigen vorbereitungskurs gemacht wird als grundlage voraus.
vieles ist mir auch schon aus der schule bekannt, aber da ich mathe studieren werde, mache ich die aufgaben wohl besser und rege mich nicht weiter darüber auf...

Zitat:

Original von tigerbine
Was ich sagte meine ich als Tipp auch für die Uni Übungsaufgaben. Es zeugt imho nicht von Unwissenheit, wenn man Sätze nennt, oder ausführlich schreibt. In der Übung fragen die wenigsten nach, auch wenn sie es nicht verstanden haben. Und dann versucht man daheim die Lücken zu füllen, die der Vortragende durch Nennung eines Satzes oder Zwischenschrittes häte leicht schließen können.

Auch machst Du es den Korrektoren leichter. Überspringen geht schneller als Nachschlagen Lesen2

stimmt schon. werde ich in zukunft dann beachten. danke für den hinweis. smile

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