komplexe Zahlen berechnen

08.03.2005, 18:56

DanielE

komplexe Zahlen berechnen

Hallo,
habe einige Aufgaben mit eurer Formel lösen können, bin jetzt aber bei einer speziellen Aufgabe bei einem, für mich unlösbaren Problem angekommen.

Und zwar kürzen sich bei folgender Aufgabe alle "i" raus..... Hier meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} (1+i)\cdot z^{3} +(z+10i)\cdot z^{2} +(-6+16i)\cdot z=0 \end{eqnarray*}$

1 "z" ausklammern (Damit ist erste Lösung z=0)

$\begin{eqnarray*} (1+i)\cdot z^{2}+ (z+10i)\cdot z+(-6+16i)=0 \end{eqnarray*}$

Alles quadrieren und zusammenfassen....
$\begin{eqnarray*} -z^{4}-96 z^{2} =292 \end{eqnarray*}$

So, jetzt habe ich kein i mehr und kann keine komplexen Lösungen berechnen, oder ?

08.03.2005, 19:51

etzwane

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RE: komplexe Zahlen berechnen
Du hast dich hier leider verschrieben und somit falsch weitergerechnet:

Zitat:

Original von DanielE
$\begin{eqnarray*} (1+i)\cdot z^{2} (z+10i)\cdot z+(-6+16i)=0 \end{eqnarray*}$

So ist es richtig:
$\begin{eqnarray*} (1+i)\cdot z^{2} + (z+10i)\cdot z+(-6+16i)=0 \end{eqnarray*}$

08.03.2005, 20:11

DanielE

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Ich hab mich nur beim abschreiben vertippt, habe es oben korrigiert. Der Fehler muss also an einer anderen Stelle liegen !

08.03.2005, 20:39

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RE: komplexe Zahlen berechnen

Zitat:

Original von DanielE
$\begin{eqnarray*} (1+i)\cdot z^{2}+ (z+10i)\cdot z+(-6+16i)=0 \end{eqnarray*}$

Alles quadrieren und zusammenfassen....
$\begin{eqnarray*} -z^{4}-96 z^{2} =292 \end{eqnarray*}$

Also die Umformung musst du mal erklären!

08.03.2005, 20:43

Egal

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Wieso eigentlich quadrieren? Das ist doch die eigentliche Frage

08.03.2005, 20:55

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@Egal

Das sowieso!

08.03.2005, 22:56

DanielE

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Wieso denn nicht quadrieren, damit fallen die "i" weg und der TErm wird einiges leichter !

Hab es jetzt anders gemacht und habe folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} (z+3+2i)^{2}=i \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt die Formel arctan $\begin{eqnarray*} \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ =phi

anwende, dividiere ich durch null und der ganze Ausdruck ist nicht erlaubt ....
ICh brauche doch sowieso immer einen Realanteil...

08.03.2005, 23:15

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Korrigiere mal deine Ausgangsgleichung oben, du meinst ja sicher

$\begin{eqnarray*} (1+i)\cdot z^{2}+ (2+10i)\cdot z+(-6+16i)=0 \end{eqnarray*}$ ?

Geschrieben hast du aber:

Zitat:

Original von DanielE
$\begin{eqnarray*} (1+i)\cdot z^{2}+ (z+10i)\cdot z+(-6+16i)=0 \end{eqnarray*}$

also (z+10i) statt (2+10i) im zweiten Term!

Sollte die von mir korrigierte Ausgangsvariante zutreffen, dann ist deine quadratische Ergänzung richtig.

Zitat:

Original von DanielE
Wenn ich jetzt die Formel arctan $\begin{eqnarray*} \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ =phi

anwende, dividiere ich durch null und der ganze Ausdruck ist nicht erlaubt ....

Die arctan-Formel ist nicht allgemeingültig - sie gilt nur für den ersten und vierten Quadranten (also Realteil positiv). Auf der imaginären Achse sowie im ganzen zweiten und dritten Quadranten ist sie regelrecht falsch. Siehe
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=117979#post117979
für eine vollständige Betrachtung aller auftretenden Fälle der Argumentberechnung (naja, alle außer z=0).

08.03.2005, 23:34

DanielE

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Erstmal sorry für den Tippfehler oben !

Die arctan Formel ist immer anwendbar, wenn ich im 2ten und 3ten Quadranten jeweils "pi" addiere, und im 4ten Quadranten 2pi addiere.
Das PRoblem bei meiner Aufgabe ist nur, dass ich ja durch null dividiere und somit überhaupt auf kein Phi komme.
Wie würdet Ihr denn das Phi berechnen aus der gegebenen Form ?

08.03.2005, 23:45

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Hast du dir die Formel richtig angeschaut?

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} \varphi=\left\{\begin{array}{ll}\arctan\displaystyle\frac{b}{a}&\;\mbox{für}\,a>0,b\geq 0\\[4mm] \pi+\arctan\displaystyle\frac{b}{a}&\;\mbox{für}\,a<0\\[4mm] 2\pi+\arctan\displaystyle\frac{b}{a}&\;\mbox{für}\,a>0,b<0\\[4mm] \displaystyle\frac{\pi}{2}&\;\mbox{für}\,a=0,\,b>0 \qquad \longleftarrow !!!\\[4mm] \displaystyle\frac{3\pi}{2}&\;\mbox{für}\,a=0,\,b<0\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Jetzt alles klar?

09.03.2005, 00:19

DanielE

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Ahh ja, vielen Dank !

09.03.2005, 10:12

DanielE

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Warum darf man eigentlich bei dieser Aufgabe nicht quadrieren, wodurch ja der Imaginärteil wegfällt ?

Die REchenoperation ist ja legitim, jedoch kommt man danach auf kein richtiges Ergebnis...

09.03.2005, 11:02

MATA

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Ich denke mal, du hast falsch quadriert. Du musst den ganzen Term quadrieren und nicht nur die einzelnen Teile, also so:

$\begin{eqnarray*} ((1+i)\cdot z^{2}+ (2+10i)\cdot z+(-6+16i))^{2} = 0^{2} \end{eqnarray*}$

Ich bezweifle, dass dann alles mögliche einfach wegfällt.

09.03.2005, 14:24

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Zitat:

Original von DanielE
Warum darf man eigentlich bei dieser Aufgabe nicht quadrieren, wodurch ja der Imaginärteil wegfällt ?

Die REchenoperation ist ja legitim, jedoch kommt man danach auf kein richtiges Ergebnis...

Und das ist ja wohl entscheidend!

Keiner verbietet dir zu quadrieren. Aber dann machst du aus einer Gleichung zweiten Grades eine Gleichung vierten Grades. Wie diese Verkomplizierung dann sinnvoll zur Lösung beiträgt, musst du mir mal erklären

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