Hilfe zum Fächermodell

06.09.2007, 14:29

Cashflow

Hilfe zum Fächermodell

Hallo,

ich beschäftige mich z.Zt. etwas mit dem Fächermodell.

Ich sollte hierzu eine Aufgabe bearbeiten (ich soll mich der Äquivalenz von Urnen und Fächermodell vergewissern), das Problem ist, dass das Modell leider meines erachtens im Skript sehr unzureichend beschrieben wurde.

So steht bei mir im Skript:

Bsp. für Anwednung: Das "Sammlerproblem": In jeder Tafel einer bestimmten Schokoladensorte befinden sich fünf Bilder; sie sind rein zufällig verteilt, d.h. besitzen alle die gleiche Wahrscheinlichkeit. Insgesamt umfasst die gesamte Serie 100 Bilder, sodass die Sammlung nach dem KAuf theoretisch komplett sein könnte; das ist aber höchst unwahrscheinlich.

Folgende Fragen drängen sich auf: Wie viele Tafeln benötige ich durchschnittlich für eine vollständige Serie? Mit welcher Wahrscheinlichkeit besitze ich nach x Tafeln das Bild 1 beziehungsweise alle Bilder? NAch wieviel Tafeln kommt im Durchschnitt (irgend)ein Bild beziehungsweise das Bild 1 zum zweiten Mal?

Solche Fragestellungen führen zum Fächermodell: Wir haben verschiedene, vielleicht durchnummerierte Fächer, in die die zugehörigen Seiten, die evtl. in Form gleich großer Päckchen ankommen, einsortiert werden.

Da kann ich mir nichts vorstellen auch googeln und Wikipedia bringt nicht allzuviel.

Vielen Dank für jede Hilfe.

P.S. Weiterhin soll ich ein Spiel im Zahlenlotto, das "6 aus 49" heißt, sowohl anhand des Urnen- als auch anhand des Fächermodells beschreiben.

06.09.2007, 14:35

Cashflow

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Wenn ich das mit der Äquivalenz mal hinten anstelle und mal die Frage mit "6 aus 49" zu erst angehe wirds mir evtl. klarer.

Urnenmodell:

Aus 49 Kugeln werden nacheinander 6 Kugeln entnommen. Auf jeder Kugel ist eine Nummer aufgedruckt.

Fächermodell:

Wir haben sechs durchnummerierte Fächer??? K.A. wie es weiter geht.

06.09.2007, 14:43

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Mich wundert das nicht: Obwohl ich mir einbilde, doch etwas von Kombinatorik zu verstehen, habe ich noch nie von einem "Fächermodell" als anerkanntem Begriff gehört. Ist wohl eher ein Spezialbegriff von deinem Prof... Augenzwinkern

Erzähl mal das ganze Problem, bestimmt können wir dir auch ohne solchen begrifflichen Schnickschnack helfen.

06.09.2007, 14:48

Cashflow

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Naja, das Problem ist, das ich euch da nicht viel mehr erzählen kann weil im Skript nicht mehr dazu steht und er nicht darauf eingegangen ist, nur der Hinweis zum Selbststudium.

Die Fragen sind:

1. Vergewissern Sie sich der Äquivalenz von Urnen- und Fächermodell und verdeutlichen Sie sich die entsprechenden Zuordnungen.

2. Beschreiben Sie ein Spiel im Zahlenlotto, das "6 aus 49" heißt, sowohl anhand des Urnen- als auch des Fächermodells.

Thats all ??????

06.09.2007, 17:24

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Das ist ja schön, dass du nochmal die Aufgabenstellung aufschreibst. Aber das Problem ist, das wohl die meisten Helfer hier mit dem Begriff "Fächermodell" nichts anfangen können. Wie ich schon sagte, so allgemein üblich ist der Begriff nicht - hast du ja auch selbst bei deinen Internet-Recherchen gemeint. Und deine Beschreibung dazu

Zitat:

Original von Cashflow
Solche Fragestellungen führen zum Fächermodell: Wir haben verschiedene, vielleicht durchnummerierte Fächer, in die die zugehörigen Seiten, die evtl. in Form gleich großer Päckchen ankommen, einsortiert werden.

ist zuwenig präzise, als dass ich erahne, was du meinst.

Am besten, du gibst mal die exakte Definition aus deiner Vorlesung - ungefiltert, Wort für Wort.

Beim Urnenmodell sieht's anders aus: Das ist hinlänglich bekannt.

06.09.2007, 17:29

Cashflow

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So steht bei mir im Skript:

Bsp. für Anwednung: Das "Sammlerproblem": In jeder Tafel einer bestimmten Schokoladensorte befinden sich fünf Bilder; sie sind rein zufällig verteilt, d.h. besitzen alle die gleiche Wahrscheinlichkeit. Insgesamt umfasst die gesamte Serie 100 Bilder, sodass die Sammlung nach dem KAuf theoretisch komplett sein könnte; das ist aber höchst unwahrscheinlich.

Folgende Fragen drängen sich auf: Wie viele Tafeln benötige ich durchschnittlich für eine vollständige Serie? Mit welcher Wahrscheinlichkeit besitze ich nach x Tafeln das Bild 1 beziehungsweise alle Bilder? NAch wieviel Tafeln kommt im Durchschnitt (irgend)ein Bild beziehungsweise das Bild 1 zum zweiten Mal?

Solche Fragestellungen führen zum Fächermodell: Wir haben verschiedene, vielleicht durchnummerierte Fächer, in die die zugehörigen Seiten, die evtl. in Form gleich großer Päckchen ankommen, einsortiert werden.

--> Da steht wirklich kein Wort mehr. Ich habe das alles Wort für Wort abgeschrieben.

P.S. Danke für deine Mühe

06.09.2007, 17:41

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Wenn man Beispiele für die Anwendung von irgendwas gibt, muss man doch vorher sagen, was dieses "irgendwas" überhaupt ist!! Na egal, ich bohre nicht weiter.

06.09.2007, 17:59

Cashflow

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Ja das sehe ich auch so, aber es steht unter der Überschrift Formen der Zusammensetzung. und vorher geht es um die drei Axiome der Wahrscheinlichkeitsberechnung.

Mehr ist leider nicht da das weiterhelfen könnte.

06.09.2007, 18:59

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Begriff Fächermodell hin oder her, ich halte mich mal an das hier:

Zitat:

Original von Cashflow
Das "Sammlerproblem": In jeder Tafel einer bestimmten Schokoladensorte befinden sich fünf Bilder; sie sind rein zufällig verteilt, d.h. besitzen alle die gleiche Wahrscheinlichkeit. Insgesamt umfasst die gesamte Serie 100 Bilder, sodass die Sammlung nach dem KAuf theoretisch komplett sein könnte; das ist aber höchst unwahrscheinlich.

Folgende Fragen drängen sich auf: Wie viele Tafeln benötige ich durchschnittlich für eine vollständige Serie?

Das allein ist schon ein verteufelt vertracktes Problem, wenn man es wirklich exakt rechnet. Wenn pro Tafel nur ein statt fünf Bildchen enthalten ist, dann geht das noch mit der mittleren Anzahl benötigter Tafeln:

$\begin{eqnarray*} E(N) = 100\cdot \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k} \approx 518.7\qquad (*) \end{eqnarray*}$

(zur Erklärung siehe z.B. hier).

Bei fünf Bildern pro Tafel kann man aber nicht einfach diesen Wert durch 5 teilen. unglücklich

Denn es ist ja hoffentlich davon auszugehen, dass die fünf enthaltenen Bilder garantiert echt voneinander verschieden sind - oder? In dem Fall dürfte sich eine etwas kleinere mittlere Anzahl als 1/5 von Wert (*) einstellen - die genaue Berechnung ist numerisch möglich, aber wie gesagt, ziemlich vertrackt.

06.09.2007, 21:19

Cashflow

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Super Arthur, vielen Dank, das hilft mir sehr weiter. Gott

Ich finds echteinen Quatsch sowas abzudrucken und es ist weder erklärt noch kennt das jemand.

06.09.2007, 21:57

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Kommen wir nun zu dem wirklich "vertrackten" Teil. Das ganze lässt sich rekursiv knacken - Kernidee ist die Einführung folgender Anzahlen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} N(r,s,t) \end{eqnarray*}$ ... mittlere Anzahl noch zu kaufender Tafeln mit je $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ Bildern, um den gesamten Satz aller $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ Bilder zu erhalten, unter der Bedingung, dass man bereits $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ Bilder hat

Gesucht ist letzten Endes der Wert $\begin{eqnarray*} N(r,s,0) \end{eqnarray*}$ , in deinem Fall für $\begin{eqnarray*} r=5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s=100 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} N(r,s,t) \end{eqnarray*}$ lässt sich nun bzgl. $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ rekursiv bestimmen, beginnend am "Ende" mit dem Wert

$\begin{eqnarray*} N(r,s,s) = 0\qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} t<s \end{eqnarray*}$ folgt nun aus der Bayesschen Formel

$\begin{eqnarray*} N(r,s,t) = 1 + \sum_{m=0}^{\min\{r,s-t\}} ~ \frac{\binom{t}{r-m} \cdot \binom{s-t}{m}}{\binom{s}{r}} \cdot N(r,s,t+m) \end{eqnarray*}$ ,

das ganze gewinnt man durch Überlegung, wieviel neue Bilder man mit der nächsten Tafel gewinnt. Umgestellt ergibt das die Rekursionsformel

$\begin{eqnarray*} N(r,s,t) = \frac{1}{\binom{s}{r} - \binom{t}{r}} \cdot \left[ \binom{s}{r} + \sum_{m=1}^{\min\{r,s-t\}} ~ \binom{t}{r-m} \cdot \binom{s-t}{m} \cdot N(r,s,t+m) \right]\qquad (**) \end{eqnarray*}$ .

So lässt sich zum Beispiel für deine Schokoladen durch diese "Rückwärtsiteration der Wert $\begin{eqnarray*} N(5,100,0) \approx 102.05 \end{eqnarray*}$ berechnen. Wie versprochen also etwas weniger als 1/5 von obigen 518.7 . Augenzwinkern

Keine Ahnung, ob sich die Rekursion (*),(**) für allgemeine $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ (also nicht nur r=1 wie oben gesehen) in eine einigermaßen geschlossene Formel aufdröseln lässt - ich fürchte Nein.

P.S.: Der genaue Wert ist übrigens

$\begin{eqnarray*} N(5,100,0) = \frac{4 435 833 938 774 414 681 721 894 399 699 441 300 988 550 478 772 454 844 640 912 017 888 677 653 272 485 630 159 973 046 366 212 971 654 773 344 058 079 632 300 724 989 128 869 548 814 251 756 588 372 293 585 999 991 840 045 207 975 155 362 336 859 645 562 316 143 003 780 089 484 692 000 259 504 673 388 955 786 679 264 465 776 530 238 570 614 931 249 904 699 291 514 545 497 405 798 459 273 787 454 680 310 868 277 141 832 801 131 911 581 232 207 666 810 506 588 147 484 562 618 326 819 067 348 241 044 898 468 951 605 557 709 870 443 649 814 488 675}{43 466 663 191 794 946 283 062 987 578 348 712 657 555 230 896 917 489 335 035 421 395 226 044 692 367 808 202 486 610 455 250 711 883 339 227 104 846 750 202 505 468 028 467 218 808 321 246 832 981 215 169 369 785 232 608 025 399 084 029 624 311 493 152 074 244 682 285 850 717 115 911 980 761 129 569 877 076 954 059 509 442 339 585 368 056 199 224 629 890 879 625 619 294 317 261 259 073 683 174 827 133 450 239 167 705 233 281 071 222 502 495 175 663 499 128 437 932 181 741 726 249 757 886 003 907 173 172 094 494 459 530 001 906 556 526 001 136} \end{eqnarray*}$

Das hat die (Bildschirm-)Breite dieses Threads ganz schön vergrößert - MuPAD kann gnadenlos sein. Big Laugh

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