Fourierreihe berechnen

06.09.2007, 16:17

lonesome-dreamer

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Fourierreihe berechnen

Hallo zusammen,
zu der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin{(x)}\cos^2{\left(\frac{x}{2}\right)} \end{eqnarray*}$ soll die Fourierreihe berechnet werden.
Ich habe zunächst die Funktion umgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sin{x}\cos^2{\frac{x}{2}}=\frac{1}{4}\sin{(2x)}+\frac{1}{2}\sin{(x)} \end{eqnarray*}$
Die Periode ist nun $\begin{eqnarray*} p=2\pi \end{eqnarray*}$

Dann habe ich den Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ berechnet:
$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}{\frac{1}{4}\sin{(2x)}+\frac{1}{2}\sin{(x)}dx}=0 \end{eqnarray*}$

Dann die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}{\left(\frac{1}{4}\sin{(2x)}+\frac{1}{2}\sin{(x)}\right)\cos{(nx)}}dx \end{eqnarray*}$

Aber wie integriere ich das jetzt?
Oder gibt es vielleicht noch einen anderen Lösungsweg?

Besten Dank schon mal im Voraus für eure Hilfe

Gruß
Natalie

06.09.2007, 16:25

Calvin

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Löse die Klammer auf und wende ein Additionstheorem an:

$\begin{eqnarray*} \sin{x}\cdot\cos{y}=\frac{1}{2}\left(\sin{(x-y)}+\sin{(x+y)}\right) \end{eqnarray*}$

06.09.2007, 16:59

lonesome-dreamer

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Hi,
das wird ja ziemlich aufwendig, wenn man das dann noch integrieren soll.
Die Lösung ist übrigens $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sin(x)+\frac{1}{4}\sin(2x) \end{eqnarray*}$ , also genau das, wie ich das umgeschrieben habe.
Ist das Zufall, oder gibt es da einen Zusammenhang?

Gruß
Natalie

06.09.2007, 17:33

Calvin

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Nein, das ist kein Zufall. Deine Umformung der Funktion mit Additionstheoremen hat sie tatsächlich in eine Fourierreihe überführt. Mit ein bißchen Übung (die ich definitiv nicht habe Augenzwinkern

Augenzwinkern

) hätte man das sogar sehen können.

Die $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ sind alle 0. Das wirst du auch feststellen, wenn du das Integral ausrechnest Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ sind fast alle 0. Lediglich $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_2 \end{eqnarray*}$ sind nicht 0. Auch das könntest du über ein Integral ausrechnen.

06.09.2007, 18:35

WebFritzi

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Zitat:

Original von Calvin
Die $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ sind alle 0. Das wirst du auch feststellen, wenn du das Integral ausrechnest Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das Integral braucht man dafür nicht auszurechnen, denn ungerade mal gerade ergibt ungerade. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2007, 19:33

lonesome-dreamer

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Danke schon mal.

Ich hab jetzt noch ne andere Aufgabe, bei der ich mich schwer tue.
$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^2-x^4 \end{eqnarray*}$ im Bereich $\begin{eqnarray*} -1 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ und Periode $\begin{eqnarray*} p=2 \end{eqnarray*}$ .

Ich habe für $\begin{eqnarray*} a_0=\frac{14}{15} \end{eqnarray*}$ ausgerechnet.

Und jetzt wieder die Frage nach den Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} a_n=\int_{-1}^{0}{(2x^2-x^4)\cos(\pi nx) dx}+\int_{0}^{1}{(2x^2-x^4)\cos(\pi nx) dx} \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das bis dahin? Und wenn ja, wie integriert man das am besten, oder gibt's noch ne einfachere Möglichkeit, die Aufgabe zu lösen?

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06.09.2007, 19:38

WebFritzi

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f(x) ist eine gerade Funktion. Was kannst du daraus alles schließen?

06.09.2007, 19:48

lonesome-dreamer

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Das bedeutet doch, dass für alle n $\begin{eqnarray*} b_n=0 \end{eqnarray*}$ ist, oder?

06.09.2007, 19:50

WebFritzi

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Ja. Und dass der Integrand von a_n eine gerade Funktion ist. Das heißt, du brauchst nicht beide Integrale zu berechnen, sondern musst nur das erste (oder das zweite) mit 2 multiplizieren.

06.09.2007, 19:53

lonesome-dreamer

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also so:
$\begin{eqnarray*} a_n=2\int_{-1}^{0}{(2x^2-x^4)\cos(\pi nx) dx} \end{eqnarray*}$ ?
Und wie integriert man das am besten? Partiell?

06.09.2007, 20:31

WebFritzi

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Warum versuchst du es nicht einfach mal?

06.09.2007, 20:51

lonesome-dreamer

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Wie berücksichtige ich denn die Integrationsgrenzen bei der partiellen Integration?

06.09.2007, 20:53

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x)g'(x)\, dx = \left[ f(x)g(x)\right]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx \end{eqnarray*}$

06.09.2007, 21:09

lonesome-dreamer

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Puh. Das ist ja wirklich nicht schön.
Das muss doch auch noch anders gehen.
Jedenfalls komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{48\cos^2(\pi n)}{\pi^4n^4}+\frac{2(\pi^4n^4+8\pi^2n^2-24)\sin(\pi n)\cos(\pi n)}{\pi^5n^5} \end{eqnarray*}$

06.09.2007, 21:10

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} \cos(\pi n) = \dots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(\pi n) = \dots \end{eqnarray*}$

06.09.2007, 21:16

lonesome-dreamer

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für gerade n ist $\begin{eqnarray*} \cos(\pi n)=1 \end{eqnarray*}$ und für ungerade n ist $\begin{eqnarray*} \cos(\pi n)=-1 \end{eqnarray*}$
und für alle n ist $\begin{eqnarray*} \sin(\pi n)=0 \end{eqnarray*}$ .
Das heißt der komplette rechte Term fällt weg und es bleibt übrig:
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{48\cos^2(\pi n)}{\pi^4n^4} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

06.09.2007, 21:18

WebFritzi

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Zitat:

Original von lonesome-dreamer
für gerade n ist $\begin{eqnarray*} \cos(\pi n)=1 \end{eqnarray*}$ und für ungerade n ist $\begin{eqnarray*} \cos(\pi n)=-1 \end{eqnarray*}$
und für alle n ist $\begin{eqnarray*} \sin(\pi n)=0 \end{eqnarray*}$ .
Das heißt der komplette rechte Term fällt weg und es bleibt übrig:
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{48\cos^2(\pi n)}{\pi^4n^4} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Das stimmt alles. Jetzt überleg dir mal, was cos²(n pi) ist.

P.S.: Bist du sicher, dass da cos²(n pi) steht? Mein Mathematica sagt mir, dass da nur cos(n pi) steht.

06.09.2007, 21:24

lonesome-dreamer

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Zitat:

Original von WebFritzi
P.S.: Bist du sicher, dass da cos²(n pi) steht? Mein Mathematica sagt mir, dass da nur cos(n pi) steht.

O ja. Mathematica hat natürlich recht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hab mich vertippt. Es soll nur $\begin{eqnarray*} \cos(\pi n) \end{eqnarray*}$ sein.
Also so:
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{48\cos(\pi n)}{\pi^4n^4} \end{eqnarray*}$

Aber wie gehts jetzt weiter?
Je nachdem ob n gerade oder ungerade ist, hat der Term ein anderes Vorzeichen.

06.09.2007, 21:28

Frooke

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Dann setze doch
$\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n\frac{48}{\pi^4n^4} \end{eqnarray*}$

06.09.2007, 21:36

lonesome-dreamer

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aha.
Da hätte ich auch selbst drauf kommen können Finger1

Finger1

Und das multipliziere ich jetzt noch mit $\begin{eqnarray*} \cos(\pi n x) \end{eqnarray*}$ und erhalte als Fourierreihe:
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{7}{15}+\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\frac{48}{\pi^4n^4}\cos(\pi n x)} \end{eqnarray*}$

Richtig?

07.09.2007, 01:07

WebFritzi

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Du hast doch nur deine Werte in eine Formel eingesetzt. Dann wird es wohl richtig sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.09.2007, 13:56

lonesome-dreamer

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Zitat:

Original von WebFritzi
Du hast doch nur deine Werte in eine Formel eingesetzt. Dann wird es wohl richtig sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Naja, ab und zu kann man selbst da Fehler machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jedenfalls vielen Dank euch allen für die Hilfe. Ihr seid die Besten hier Freude

Freude

Gruß
Natalie

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