Beweis des "Schwerpunkt Satzes"

08.03.2005, 21:07	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis des "Schwerpunkt Satzes" Hallo! Es geht um folgende Aufgabe: Beweise folgenden Satz: Sind $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ die Ortsvektoren der Eckpunkte eines Dreiecks, dann ist $\begin{eqnarray} \vec{s} = \frac{1}{3}( \vec{a}+\vec{b}+ \vec{c}) \end{eqnarray}$ der Ortsvektor seines Schwerpunkts. Meine Überlegungen bis hierhin: Die Seitenhalbierenden, die den Schwerpunkt als Schnittpunkt haben, teilen sich ja im Verhältnis 2:1. Ich nehme an, dass ich nun wieder einen "Vektorzug" (so nennt unser Lehrer das, kA ob das ein üblicher Begriff ist) aufstellen muss. Das heißt also, bestimmte Strecken im Dreieck ablaufen muss, die den Nullvektor ergeben. Die einzelnen Teilstücke dann über die Ortsvektoren a,b,c ausdrücken. Nun ist es ja bei diesen Vektorzügen so, dass ich die zu betrachtenden Strecken einbeziehen muss, sonst kann ich über sie ja keine Aussagen machen. Aber ich brauche nicht die kompletten Strecken oder? Und es würde doch auch schon reichen, wenn ich 2 Seitenhalbierenden betrachte, oder? Ist mein Ansatz überhaupt durchführbar? gruß, aRo
08.03.2005, 21:15	Egal	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schlag einen direkten Weg vor. Versuch erstmal zb zu bestimmen wie du den Mittelpunkt der Strecke c mit $\begin{eqnarray} \vec{a},\vec{b},\vec{c} \end{eqnarray}$ audrücken kannst. Dann musst du ja da du ja weisst das der Schwerpunkt zwischen dem Mittelpunkt und dem Eckpunkt C liegt nur noch das entsprechende Stückchen draufaddieren bis du beim Schwerpunkt ankommst.
08.03.2005, 21:16	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst ja den Koordiantenursprung einfach nach A setzen. (du anderst einfach den Vektor nach B um in den Vektor nach A und den Vektor von A nach B...) Dann hast du noch genau 2 Vektoren zu betrachten. Du musst erst mal beweißen, dass er genau die "Länge" hat die gefordert ist, da ist der Ansatz mit dem Verhältnis schon richtig. Und dann musst du noch begründen, dass die Richtung richtig ist, also dass der Vektor in Richtung des Mittelpunktes der Seite a zeigt. Wie man vektoriell den Mittelpunkt einer Strecke darstellt dürftest du schon wissen
08.03.2005, 21:34	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
naja. ich habe mal meinen Weg gemacht, allerdings wohl leider in ner falschen Variante ... habe die Strecken mit S falsch benutzt. Bin die Variablen umgangen, so dass ich am Schluss raus hatte: Nullvektor = Nullvektor Naja. @Egal: Ich glaube den Weg, den du gemeint hast, habe ich mal ausprobiert. Funktioniert natürlich. Könnte er ja vielleciht gelten lassen @Sciencefreak: Deine Versetzung des Koordinatenursprungs in den Punkt A verstehe ich leider nicht. gruß, aRo
09.03.2005, 00:26	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm, für gewöhnlich sollte man da das schneiden 1:2 auch nicht voraussetzen.... seien a,b,c deine ortsvektoren.... stelle mithilfe von a,b,c eine geradengleichung für S_A und S_B auf.... schneide diese beiden geraden (einziger schnittpunkt sollte dann der Schwerpuntk S=1/3(a+b+c) sein) zeige S liegt auch auf S_C. fertig..... mfg jochen
09.03.2005, 06:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man die Formel von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ noch nicht kennt, muß man sie natürlich mittels geeigneter Geradengleichungen herleiten. Hier ist die Formel aber schon angegeben, man muß sie daher nur noch verifizieren. Und das ist ganz einfach. Und vor allem: Koordinaten sind gänzlich überflüssig. Wie üblich bezeichne ich mit Kleinbuchstaben die Ortsvektoren der entsprechenden Punkte. $\begin{eqnarray} M_a,M_b,M_c \end{eqnarray}$ seien die Seitenmitten von $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \vec{m}_a = \frac{1}{2} \left( \vec{b} + \vec{c} \right) \, , \ \ \vec{s} = \frac{1}{3} \left( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \right) \end{eqnarray}$ Man fasse die zweite Gleichung einfach als Definition für einen Punkt $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ auf. Und jetzt zeigt man, daß $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ auf der Seitenhalbierenden von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ liegt: $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AM_a} = \vec{m}_a - \vec{a} = \frac{1}{2} \left( \vec{b} + \vec{c} \right) - \vec{a} = -\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AS} = \vec{s} - \vec{a} = \frac{1}{3} \left( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \right) - \vec{a} = -\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c} \end{eqnarray}$ Ein Vergleich der beiden Ausdrücke zeigt: $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AS} = \frac{2}{3} \; \overrightarrow{AM_a} \end{eqnarray}$ Und das war's. Denn die letzte Gleichung zeigt die lineare Abhängigkeit der Vektoren $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AS} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AM_a} \end{eqnarray}$ . Somit liegen $\begin{eqnarray} A,S,M_a \end{eqnarray}$ auf einer Geraden. Und das Verhältnis, in dem $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ die Seitenhalbierende teilt, kann man gleich ablesen. Und daß das Ganze auch für die anderen beiden Seitenhalbierenden gelten muß, erhält man in offensichtlicher Weise durch zyklische Vertauschung $\begin{eqnarray} a(A) \mapsto b(B) \mapsto c(C) \mapsto a(A) \end{eqnarray}$ .
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09.03.2005, 11:15	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, da muss ich dir natürlich recht geben, leo..... ich hatte diese aufgabe sowohl in der schule, als auch in der linearen algebra und fand es irgendwie selbstverständlich, dass man S erst bestimmen muss.... wer lesen kann ist eben im vorteil! dann fallen natürlich die ersten schritte bei mir weg...... @aRo: aber eine gute übung wäre es doch mal, oder.... !?
09.03.2005, 16:13	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich wollte die Aufgabe vorher etwas vereinfachen, aber wenn man das so lange erklären muss, dann ist der andere Weg natürlich schneller. Ich wollte einfach die Vektoren so darstellen $\begin{eqnarray} \vec{b}=\vec{a}+\vec{d} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{c}=\vec{a}+\vec{e} \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} \vec{d} \end{eqnarray}$ der Vektor von A nach B und $\begin{eqnarray} \vec{e} \end{eqnarray}$ der Vektor von A nach C. Somit wäre die Gleichung $\begin{eqnarray} \vec{s}=\vec{a}+\frac{1}{3}(\vec{d}+\vec{e}) \end{eqnarray*}$ Das ganze käme somit einer Verschiebung des Problems gleich, wo der Vektor nach A null ist. Somit müssteman das Problem nur noch mit diesen beiden Vektoren betrachten, was nach dem Aufwand von ebend keine allzu große Vereinfachung bringt, auch wenn es dadurch vielleicht offensichtlicher wird

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