Wie viele 9en gibt es zwischen 1 -10^10?

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Elsta Auf diesen Beitrag antworten »
Wie viele 9en gibt es zwischen 1 -10^10?
Hallo,

ich habe eine Aufgabe zu der ich mir gedanken gemacht habe und auch die Lösung habe( denke ich, bin mir aber nicht sicher ):

Gibts es unter den Zahlen 1,2,..., 10 000 000 000 mehr Zahlen die eine 9 enthalten oder mehr die keine 9 enthalten?


ich habe ausgerecht:

Die Anzahl der Kombinationen die keine 9 enthalten: 3 486 784 400
( 9^10 - 1 )


Die Anzahl der Kombinationen die genau eine 9 enthalten: 435 848 050


Die Anzahl der Kombinationen d. mindestens eine 9 enthalten: 865 642 655

Also sind die Kombinationen die keine 9 enthalten deutlich mehr.

Mich wundert jetzt : Sollte die Summe der beiden nicht genau die 10 Milliarden sein???

Mich würde es freuen wenn jemand Zeit und Lust hätte mir zu helfen.


gruß Elsta
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Alle drei von dir berechneten Anzahlen sind leider falsch:

Bei der ersten liegst du nur leicht daneben:

Zahlen ohne 9, denn -1 für die fehlende 0, aber +1 für das zusätzliche 10 000 000 000 .

Bei der zweiten schon deutlicher:

mit genau einer 9.

Und bei der dritten ganz weit:

mit mindestens einer 9.
Elsta Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok vielen dank schon mal . Dann hab ich irgentwo einen Denkfehler bei der 2.ten ( die dritte is nicht so relevant da es bei der 2.ten schon die Anzahl der Kombinationen übersteigt und somit das ergebnis feststeht)
Elsta Auf diesen Beitrag antworten »

ah ich bin ein trottel : )


ich hab mein fehler gefunden



ich habs mir so überlegt wenn ich es so aufschreibe: 0 000 000 000

jetzt wird eine 0 durch eine 9 ausgetauscht (praktisch festgehalten ) und dann schau ich wie viele kombinationen es gibt mit dem ziffern 0 bis 8 und dann wandert die 9 weiter also so 0 900 000 000 ....


ich bekomme dann (die 9 wandert bis zum ende ) 10 * 9^9 = 3874204890


passt.


also danke nochmals
Elsta Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte da noch eine Aufgabe:


Wie viele Permutationen von { 1,2,...,n} bestehen aus einem einzigen Zyklus?


ich möchte nicht die Lösung, ich würde nur gerne wissen wie man diese Aufgabe verstehen soll.



viele Grüße

Elsta
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich vermute, dass das folgendes bedeutet: Eine Permutation besteht aus einem einzigen Zyklus, wenn es eine (natürliche) Zahl k, und paarweise verschiedene Zahlen gibt, sodass .


Gruß, therisen
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@therisen

Denkbar ist aber auch, dass nur in deiner Variante zugelassen wird. Einerzyklen (also Fixpunkte) sind ja auch Zyklen, auch wenn sie in der Zyklenschreibweise meist weggelassen werden.
Elsta Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich vermute ich habe die Lösung: sind es (n-1)^n ?

ich glaube das ist so weil:

Jedes mal wenn eine permutation aus einem Zyklus besteht müssen alle zahlen in einem Zug durchlaufen werden. sieht so aus als matrixschreibweise:

Es darf nicht die gleiche Zahl unten stehen wie oben.

1 , 2 , 3 , ... , n
3 , 2 , 1 , ....,(n-1) z.b.

so wäre es falsch:

1 , 2 , 3 , ... , n
4 , 2 , 3 , ....,(n-1) z.b. (wegen der 3 )

das heißt wiederrum das jede zahl auf "n-1"-arten gewählt werden darf!

da man n-Stück hat ergibt (n-1)^n


ich hoffe es passt so.

Gruß

Elsta
Elsta Auf diesen Beitrag antworten »

ach mist ich hab grad gemerkt das ich was vergessen hab: es ist nicht (n-1)^n sondern (n-1)! weil es ja immer wenniger kombinationen werden je mehr man schon ausgewählt hat.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

deine Lösung ist leider falsch. Zum Beispiel zählst du doppelt. Es gibt



Möglichkeiten (das ist die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen).


Gruß, therisen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin jetzt etwas irritiert:

Geht es nun um die Menge der fixpunktfreien Permutationen, oder um die Menge der Permutationen mit nur einem Zyklus?

Letzteres ist eine (für sogar echte) Teilmenge von ersterem, allerdings auch nur dann, wenn "nur ein Zyklus" im engeren Sinn (also wie in meinem vorigen Beitrag) zu verstehen ist.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nochmal nachgedacht. Um die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen geht es in der Tat nicht (das würde vom Niveau her auch nicht passen).

Zur Erklärung an Isa: Jede Permutation mit nur einem einzigen Zyklus ist fixpunktfrei (das hast du auch schon festgestellt). Die Umkehrung ist aber falsch, siehe z.B. die fixpunktfreie Permutation mit Signum +1, aber in hat jede Permutation mit nur einem einzigen Zyklus das Signum -1.


Gruß, therisen
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Es handelt sich um mögliche Permutationen.

Beweis:

O.B.d.A. beginne der Zyklus bei der 1. Sein Bild unter muss eine der Zahlen 2,...,n sein, das sind n-1 Auswahlmöglichkeiten.
im nächsten Schritt nur noch n-2 Auswahlmöglichkeiten.

Und wenn man alle Zahlen verbraucht hat, gehts zurück zur 1. Big Laugh
Das heißt, man hat insgesamt Möglichkeiten, einen solchen Zyklus zu bilden.

EDIT: Hab mich im Latex-Code vertan. Außerdem war meine vorige Erklärung unvollständig.
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