lokale lipschitzstetigkeit

07.09.2007, 11:56

hmer

lokale lipschitzstetigkeit

Hallo an alle!

ich kämpfe gerade mit vielen begriffen und versuche das gerade alles ein wenig zu orden.

generell geht es mir darum, mal eine struktur von den begriffen stetigkeit und lipschitz-stetigkeit zu schaffen. es soll sowas wie ne hierarchie oder ähnlich sein.

Gleichmäßige Stetigkeit => Lipschitz-Stetigkeit => Stetigkeit

Stimmen diese Folge von implikationen?

Ich habe ein Problem mit dem Begriff "lokaler Lipschitzbedingung".

Definert haben wir das wie so:
Sei $\begin{eqnarray*} I \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} G \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ offen. Wir sagen, dass $\begin{eqnarray*} f: I \times G \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ stetig ist und einer lokalen Lipschitz-Bedingung (bzgl. x) genügt, falls gilt:

1. f ist auf $\begin{eqnarray*} I \times G \end{eqnarray*}$ stetig;
2. zu jedem ( $\begin{eqnarray*} t_0, x_0) \in I \times G \end{eqnarray*}$ existstiert ein $\begin{eqnarray*} \epsilon = \epsilon(t_0,x_0) \end{eqnarray*}$ sodass für alle $\begin{eqnarray*} (t,x), (t,x') \in I \times G \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |t-t_0| < \epsilon, ||x - x_0|| < \epsilon, ||x' - x_0|| < \epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow ||f(t,x) - f(t,x')|| \leq L ||x-x'||. \end{eqnarray*}$

Eine weitere Charackterisieriung lautet wie folgt:

Sei $\begin{eqnarray*} I \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ein Intervall, $\begin{eqnarray*} G \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ offen, $\begin{eqnarray*} f: I \times G \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ sei stetig und bzgl. x stetig partiell differenzierbar. Dann ist f stetig und genügt einer lokalen Lipschitz Bedingung.

Leider habe ich dazu keinen Beweis, ich will mir das aber klar machen. Ich hätte so grob gesagt, dass das über ein kompaktheitsargument gehen sollte.

Das heißt sei $\begin{eqnarray*} (t_0,x_0) \in I \times G \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ derart, dass:

$\begin{eqnarray*} K := \{ (t,x) \in I \times G : |t - t_0| \leq \epsilon, ||x-x_0|| \leq \epsilon \} \subset I \times G \end{eqnarray*}$ , d.h. ich hab eine kompakte Umgebung.

Da f stetig partiell differenzierbar bzgl. x, nehmen die partiellen Ableitungen, d.h. die "Jacobi-Matrix" $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} \end{eqnarray*}$ ihr Maximum an, d.h. es gibt ein L, sodass:

$\begin{eqnarray*} \forall (t,x) \in K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||\frac{\partial f}{\partial x} (t,x) || \leq L \end{eqnarray*}$

So jetzt häng ich aber, ich weiß, dass ich dieses L jetzt quasi als Lipschitz Konstante verwenden muss, hat mir jemand einen Tip?

Generell hab ich immer Schwierigkeiten zu sehen, wann und ob eine Funktion Lipschitz oder nicht Lipschitz ist. Mit dem ganzen Epsilon-Delta bin ich auch nicht so auf guten Fuß...
Dieser Hilfssatz würde mir doch quasi eine notwendige Bedingung geben für lokale Lipschitz-Stetigkeit, oder?

Vielen dank für die Hilfe
hmer

07.09.2007, 12:04

WebFritzi

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RE: lokale lipschitzstetigkeit

Zitat:

Original von hmer
Gleichmäßige Stetigkeit => Lipschitz-Stetigkeit => Stetigkeit

Stimmen diese Folge von implikationen?

Nein.

Lipschitz-Stetigkeit => Gleichmäßige Stetigkeit => Stetigkeit.

Lipschitz-Stetigkeit ist so ziemlich die stärkste Stetigkeit, die man sich vorstellen kann. Diese Stetigkeit ist schon ziemlich nah an der Differenzierbarkeit, wenn ich mich mal so "grob" ausdrücken darf.

07.09.2007, 12:34

hmer

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hallo webfritzi,

stimmt da hab ich mich verhaspelt.

angenommen f ist lipschitz mit L > 0. Sei \epsilon > 0 gegeben, dann ist für

$\begin{eqnarray*} \delta = \epsilon / L, ||x - x'|| < \delta \rightarrow ||f(x) - f(x')|| \leq L ||x-x'|| < \epsilon \forall x,x', \end{eqnarray*}$

d.h. f ist gleichmäßig stetig.

was sagst du zum rest?

gruß
hmer

07.09.2007, 12:57

WebFritzi

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RE: lokale lipschitzstetigkeit

Zitat:

Original von hmer
Definert haben wir das wie so:
Sei $\begin{eqnarray*} I \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} G \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ offen. Wir sagen, dass $\begin{eqnarray*} f: I \times G \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ stetig ist und einer lokalen Lipschitz-Bedingung (bzgl. x) genügt, falls gilt:

1. f ist auf $\begin{eqnarray*} I \times G \end{eqnarray*}$ stetig;
2. zu jedem $\begin{eqnarray*} (t_0, x_0) \in I \times G \end{eqnarray*}$ existstiert ein $\begin{eqnarray*} \epsilon = \epsilon(t_0,x_0) \end{eqnarray*}$ sodass für alle $\begin{eqnarray*} (t,x), (t,x') \in I \times G \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |t-t_0| < \epsilon, ||x - x_0|| < \epsilon, ||x' - x_0|| < \epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow ||f(t,x) - f(t,x')|| \leq L ||x-x'||. \end{eqnarray*}$

Diese Definition ist (noch) unsinnig, da keine Aussage darüber gemacht wird, wo plötzlich das L herkommt? Ist das abhängig von t_0 und x_0 oder ist es universell?

07.09.2007, 13:44

hmer

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stimmt ich seh es gerade, da hab ich einen zusatz vergessen:

Sei $\begin{eqnarray*} I \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} G \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ offen. Wir sagen, dass $\begin{eqnarray*} f: I \times G \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ stetig ist und einer lokalen Lipschitz-Bedingung (bzgl. x) genügt, falls gilt:

1. f ist auf $\begin{eqnarray*} I \times G \end{eqnarray*}$ stetig;
2. zu jedem ( $\begin{eqnarray*} t_0, x_0) \in I \times G \end{eqnarray*}$ existstiert ein $\begin{eqnarray*} \epsilon = \epsilon(t_0,x_0) \end{eqnarray*}$ und eine lokale Lipschitzkonstante $\begin{eqnarray*} L=L(t_0,x_0,\epsilon) \end{eqnarray*}$ sodass für alle $\begin{eqnarray*} (t,x), (t,x') \in I \times G \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |t-t_0| < \epsilon, ||x - x_0|| < \epsilon, ||x' - x_0|| < \epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow ||f(t,x) - f(t,x')|| \leq L ||x-x'||. \end{eqnarray*}$

10.09.2007, 12:59

hmer

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nach oben....***schieb***

10.09.2007, 13:04

therisen

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Was ist denn noch offen? Definitionen kannst du in jedem x-beliebigen Analysis-Buch nachschlagen oder hier.

10.09.2007, 14:07

WebFritzi

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Zitat:

Original von therisen
Definitionen kannst du in jedem x-beliebigen Analysis-Buch nachschlagen oder hier.

Es ging hmer nicht um Definitionen.

10.09.2007, 15:20

hmer

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ja. sorry nochmal, dass ich da ein wenig verwirrung gestiftet habe.

es geht um folgenden hilfssatz:

Sei $\begin{eqnarray*} I \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ein Intervall, $\begin{eqnarray*} G \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ offen, $\begin{eqnarray*} f: I \times G \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ sei stetig und bzgl. x stetig partiell differenzierbar. Dann ist f stetig und genügt einer lokalen Lipschitz Bedingung.

Leider habe ich dazu keinen Beweis, ich will mir das aber klar machen. Ich hätte so grob gesagt, dass das über ein kompaktheitsargument gehen sollte.

Das heißt sei $\begin{eqnarray*} (t_0,x_0) \in I \times G \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ derart, dass:

$\begin{eqnarray*} K := \{ (t,x) \in I \times G : |t - t_0| \leq \epsilon, ||x-x_0|| \leq \epsilon \} \subset I \times G \end{eqnarray*}$ , d.h. ich hab eine kompakte Umgebung.

Da f stetig partiell differenzierbar bzgl. x, nehmen die partiellen Ableitungen, d.h. die "Jacobi-Matrix" $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} \end{eqnarray*}$ ihr Maximum an, d.h. es gibt ein L, sodass:

$\begin{eqnarray*} \forall (t,x) \in K \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||\frac{\partial f}{\partial x} (t,x) || \leq L \end{eqnarray*}$

So jetzt häng ich aber, ich weiß, dass ich dieses L jetzt quasi als Lipschitz Konstante verwenden muss, hat mir jemand einen Tip wie es weitergeht? Mittelwertsatz?

Dieser Hilfssatz würde mir doch quasi eine notwendige Bedingung geben für lokale Lipschitz-Stetigkeit, oder?

Grüße hmer

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