Linearität eines Systems

07.09.2007, 12:33

HansB

Linearität eines Systems

Hallo,

ich soll prüfen, ob das folgende System linear ist: $\begin{eqnarray*} y[n] = x[n]x[n-1] \end{eqnarray*}$ .
Um ein System auf Linearität zu prüfen testet man doch normalerweise ob $\begin{eqnarray*} S\{a_1x_1[n]+a_2x_2[n]\} = a_1S\{x_1[n]\} + a_2S\{x_2[n]\} \end{eqnarray*}$ ist. Jetzt habe ich das Problem das ich nicht weiß wie ich mit dem $\begin{eqnarray*} x[n-1] \end{eqnarray*}$ aus der Aufgabe umgehen soll.

Gruß Hans

07.09.2007, 12:34

WebFritzi

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Erkläre bitte deine Symbolik.

07.09.2007, 12:41

HansB

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Also $\begin{eqnarray*} S\{...\} \end{eqnarray*}$ steht für das System. Im Fall der Aufgabe also x[n]x[n-1]. x[n] ist das Eingangssignal des Systems. In dem Fall zeitdiskret. $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \end{eqnarray*}$ stehen für zwei unterschiedliche Eingangssignale und $\begin{eqnarray*} a_1, a_2 \end{eqnarray*}$ für zwei beliebige Konstanten.

07.09.2007, 12:46

WebFritzi

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Und was bedeutet n? Die Zeit (diskretisiert)?

07.09.2007, 12:47

HansB

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Ja.

07.09.2007, 12:52

WebFritzi

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Tut mir leid, aber ich verstehe die Symbolik auch mit deinen Erklärungen nicht. Vor allem nicht das da mit dem S{...}.

07.09.2007, 13:03

HansB

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Hmm S steht einfach für System. Ich sende ein Eingangssignal in ein System und bekomme am Ende ein Ausgangssignal raus. Man kann ein System wie eine Funktion betrachten.

Die Formel oben sagt aus, das ein System linear ist, wenn:

1) Additivität
Man sendet zwei unterschiedliche Signale $\begin{eqnarray*} x_1[n] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2[n] \end{eqnarray*}$ in ein System und bekommt zwei Ausgangssignale $\begin{eqnarray*} y_1[n] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2[n] \end{eqnarray*}$ heraus. Diese addiert $\begin{eqnarray*} y_1[n]+y_2[n] \end{eqnarray*}$ müssen das selbe ergeben wie wenn ich erst die Eingangssignale addiere $\begin{eqnarray*} x_1[n]+x_2[n] \end{eqnarray*}$ und das enstehende Signal in das System gebe. Also $\begin{eqnarray*} S\{x_1[n]+x_2[n]\} = S\{x_1[n]\} + S\{x_2[n]\} \end{eqnarray*}$ .

2) Homogenität
Es muss egal sein ob ich erst das Eingangssignal $\begin{eqnarray*} x[n] \end{eqnarray*}$ mit einer Zahl $\begin{eqnarray*} a \in C \end{eqnarray*}$ multipliziere und das Ergebnis in ein System sende oder erst die Zahl durch das System sende und dann mit a multipliziere. Also $\begin{eqnarray*} S\{a*x[n]\} = a*S\{x[n]\} \end{eqnarray*}$

Besser krieg ich es glaub ich nicht hin.

07.09.2007, 13:08

WebFritzi

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Ah, OK. Also, ich denke mal, wir haben

$\begin{eqnarray*} S\{x[n]\} = x[n]x[n-1]. \end{eqnarray*}$

Überlege dir nun, ob dieses System homogen ist.

07.09.2007, 13:14

HansB

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Da liegt ja das Problem, ich weiß nicht wie ich die x[n-1] behandeln muss.

$\begin{eqnarray*} S\{ax[n]\} = ax[n]x[n-1] \end{eqnarray*}$ ?

07.09.2007, 13:17

WebFritzi

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Ich weiß es auch nicht genau. Ich habe nur gemutmaßt. Ich persönlich finde diese Symbolik etwas unglücklich.

Ich mutmaße nocheinmal:

$\begin{eqnarray*} S\{ax[n]\} = ax[n]\cdot ax[n-1] = a^2 x[n]x[n-1]\neq ax[n]x[n-1]. \end{eqnarray*}$

07.09.2007, 13:20

HansB

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Hmm da kann ich nicht mitreden, da mir diese so vorgesetzt wurde. Man findet sie auch in einigen lehrbüchern. Unter http://de.wikipedia.org/wiki/LZI-System findest du sie etwas anders dort ist das S durch ein T ersetzt und die {} durch [].

Man kann natürlich auch x(t) schreiben anstatt x[n]. Das betrifft dann zeitkontinuierliche Signale.

07.09.2007, 13:25

WebFritzi

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Ah, OK. Meine Interpretation war richtig. S{} ordnet einfach einer Funktion (hier x[n]) eine andere Funktion zu (hier y[n] = x[n]x[n-1]). Du musst nun ax[n] lesen als (ax)[n], also a * x[n].

07.09.2007, 13:35

HansB

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Kommt die Funktion x[n] in der Aufgabe also zweimal vor, einmal als x[n] und einmal als x[n-1]? Wenn ja könnte man das so interpretieren das da stände ax[n]*ax[n-1] also a²x[n]x[n-1], und das wäre ja durchaus etwas anderes als ax[n]x[n-1]. oder seh ich das falsch?

07.09.2007, 13:44

WebFritzi

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Zitat:

Original von HansB
Kommt die Funktion x[n] in der Aufgabe also zweimal vor, einmal als x[n] und einmal als x[n-1]?

Ich weiß nicht, wie du deine Frage gemeint hast, aber so, wie sie da steht, ist sie unsinnig. Betrachte die Funktion x[n] lieber einfach nur als x, denn x[n] ist ja schon die Auswertung. Ich fände es besser, wenn man schreiben würde

(S{x})[n] = x[n] * x[n-1],

d.h., die Auswertung des (Ausgangs-)Signals S{x} an der Stelle n ist x[n] * x[n-1]. Dann folgt

(S{ax})[n] = (ax)[n] * (ax)[n-1] = a * x[n] * a * x[n-1] = a^2 * (S{x})[n].

Also ist S nicht linear.

07.09.2007, 13:46

HansB

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OK dann hab ich mich nur falsch ausgedrückt aber das selbe gemeint.

Danke

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