Einführung Tangentenproblem/Tangente an Kreis

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Jemus Auf diesen Beitrag antworten »
Einführung Tangentenproblem/Tangente an Kreis
Hallo,
ich hätte da ein Problem bei einer Aufgabe,die mich einfach nicht in Ruhe lässt bis ich eine Lösung habe...
Die Situation ist wie folgt:
Gegeben ist eine Kreisfunktion bzw (sorry, ich geh das erste mal mit latex um :/)

und ein Punkt der (wie man sieht) außerhalb des Kreises auf der X-Achse liegt.
Gesucht ist jetzt eine Gerade g die durch P geht und gleichzeitig den Kreis tangiert.
Ein Bekannter meinte, es ginge wenn ich die Ableitung von der Kreisfunktion machen würde und diese wäre dann die Steigung m ( da wo ich herkomme lernen wir die standardgeradengleichung als hoffe, das kann man allgemein nachvollziehen smile )
und mit dieser Steigung könnte ich ja dann auch b errechnen und fertig wäre meine Gerade/(Tangente)
Allerdings Spuckt mir mein TI (Voyage 200) dann einen Bruch mit der Kreisgleichung (
) im Nenner und -x im Zähler aus, was ja als Steigung eher kontraproduktiv ist, soweit ich weiß. jendefalls bekomme ich mit diesem Ausdruck (Ich bin Anfang 11te Klasse, Ableitungen/Differentialrechnung lernen wir erst bald... )) einen Graph, der aussieht wie eine gestreckte parabel mit negativem x-Wert...

Ich hoffe das kam jetzt verständlich genug rüber. Ich fänd's jedenfalls sehr schön, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte. Falls ich noch irgendwelche Informationen ergänzen soll (Anm.: Es ist -kein- Schnittpunkt oder ähnliches auf der Kreislinie vorgegeben, lediglich die Kreisgleichung und der daraus folgende Radios (4cm)) werd ich das sofern möglich tun.
In sofern schonmal danke für's lesen.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

ohne differentialrechnung würde ich es so machen:

benutze den fakt, dass die tangente den kreis nur einmal schneidet (bzw berührt).

als gerade für die tangente würde ich mit ansetzen. (ursprungsgerade mit der steigung m um 7,5 einheiten nach rechts verschoben)

diese gerade setzt du mit der kreisgleichung gleich und bestimmst m so, dass es nur eine lösung gibt.
diese lösung kannst du dann natürlich noch berechnen, um den berührpunkt zu bestimmen.

ach und nochwas: wenn du so eine lösung berechnet hast. ist es dann die einzige lösung? und wenn es noch eine zweite gibt, wie kommst du dann möglich einfach auf sie?
 
 
Jemus Auf diesen Beitrag antworten »

hm.. wenn ich das so mache bekomm ich für m entweder was unrealistisches oder nen bruch mit x raus... was ja im prinzip nich sein kann, oder? ich hab heut abend schonmal geantwortet und da auch die ergebnisse in latex-form aufgeschrieben, aber dann hat sich wohl das java-app hier aufgehängt.. jedenfalls hat's ~3h geladen... ich ergänz das hier morgen weiter. bis dahin fänd ichs schön wenn noch jemandem was einfällt, ob mit oder ohne ableitung. hauptsache ich kanns im zweifelsfall mit dem TI lösen.
aber danke schonmal smile
cst Auf diesen Beitrag antworten »

Dreieinhalb Ideen ohne Differentialrechnung hätte ich da noch:

) Sekanten-Tangenten-Satz und Kreisgleichung: Berührpunkt B(x; y); S(7.5; 0); die x-Achse ist die Sekante. Das Ergibt das Gleichungssystem



wobei du für einsetzt.

Die anderen Ideen basieren darauf, dass der Berührungsradius und die Tangente senkrecht aufeinander stehen. Es ergibt sich also ein rechtwinkliges Dreieck.

)
Höhensatz und Kreisgleichung.


)
Pythagoras und Kreisgleichung. Kurze Kathete = Berührungsradius = ; lange Kathete = :


)
Die Tangente setzt du wieder mit an, wie von tmo vorgeschlagen. Wenn zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen, gilt für ihre Anstiege . Der Berührungsradius steht senkrecht auf der Tangente und ist außerdem eine Ursprungsgerade, weil der Kreis seinen Mittelpunkt bei (0; 0) hat. Also hat der Berührradius die Gleichung . Schließlich liegt der Berührungspunkt noch auf dem Kreis . Macht zusammen ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten:



Das musst du "nur" noch lösen. Das ist mit Stoff Klasse 10 machbar, aber zugegeben zu aufwendig.

Da hast du jetzt viereinhalb Möglichkeiten. Also: "TI" marsch! Augenzwinkern

LG
cst
Jemus Auf diesen Beitrag antworten »

yäy... ich habs raus smile über pythagoras und pq-formel bzw höhensatz.
geht alles wunderbar auf, und die erste ableitung des funktionsterms ergibt auch genau die steigung, der y-schnittpunkt passt rechnerisch wie im graph, steigung sowieso...
als fertigen term für die steigung hab ich jetzt nen doppelbruch mit 2 wurzeln drin, sehr schick smile

heut abend editier ich hier den fertigen funktionsterm noch mal rein, in latex, dafür hab ich grade nur leider keine zeit smile EDIT: und hier ist sie smile nach dem schema (wobei wenn )


bzw. nach tmo Augenzwinkern :




und die einzig nötigen werte sind c (7,5) und b (4). herrlich :]
also, vielen vielen dank and tmo und cst_aus_b für die entscheidenden denkhilfen smile nachdem ich seit dienstag immer wieder dran rumgedoktert hab, bin ich dann endlich mit 9./10. klassenstoff dem problem beigekommen, wunderbar. alleine beim betrachten des funktionsterms krieg ich gänsehaut smile
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