lim (x^5-1)/(x-1), x -> 1

07.09.2007, 16:11

randy

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lim (x^5-1)/(x-1), x -> 1

hallo zusammen

ich habe eine frage betreffend des grenzwert von

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^5-1}{x-1} \end{eqnarray*}$

den de l'hospital kann ich ja darauf nicht anwenden, weil x gegen 1 geht. darum versuche ich einfach im zähler und nenner x^5 auszuklammern. Danach habe ich nach dem Streichen von x^5 noch

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{1-\frac{1}{x^5}}{\frac{1}{x^4}-\frac{1}{x^5}} \end{eqnarray*}$

jetzt weiss ich leider nicht weiter verwirrt

verwirrt

am Schluss sollte 5 rauskommen.

Ein weiteres Problem, wo ich ebenfalls versage ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pi/4} \frac{\tan(x-\pi/4) }{2*(x-\pi/4)} \end{eqnarray*}$

ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen Prost

Prost

07.09.2007, 16:14

WebFritzi

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Polynomdivision oder l'Hospital führen dich zum Ziel.

07.09.2007, 16:14

vektorraum

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RE: lim (x^5-1)/(x-1), x -> 1
Hey,

beim ersten bringt dich Polynomdivision ganz schnell zum Ziel, d.h.

$\begin{eqnarray*} (x^5-1)\div (x-1)=\ldots \end{eqnarray*}$

Beim zweiten: L`Hospital?

P.S. Übrigens ist deine Begründung für das Nichtanwenden von L`Hospital in der ersten nicht ganz korrekt, denn immerhin kommt es nicht auf den Wert an, gegen den die Folge konvergiert, sondern auf den Ausdruck den du dann erhälst, also z.B.

$\begin{eqnarray*} \cfrac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ oder wie hier $\begin{eqnarray*} \cfrac{0}{0} \end{eqnarray*}$

Edit: Ach Webfritzi Big Laugh

Big Laugh

07.09.2007, 16:19

WebFritzi

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RE: lim (x^5-1)/(x-1), x -> 1

Zitat:

Original von vektorraum
kommt es nicht auf den Wert an, gegen den der Grenzwert geht

[KLUGSCHEISS]
Ein Grenzwert geht nicht gegen etwas. Augenzwinkern

Augenzwinkern

[/KLUGSCHEISS]

07.09.2007, 16:21

Dual Space

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RE: lim (x^5-1)/(x-1), x -> 1
OT: Apropos Klugscheiss. Fritzi, wie bist du denn auf diese "aussagekräftige" Signatur gekommen?

07.09.2007, 16:27

tmo

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ein kleiner hinweis zum 2ten:
$\begin{eqnarray*} \frac{tan(x-\frac{\pi}{4})}{2(x-\frac{\pi}{4})} = \frac{sin(x-\frac{\pi}{4})}{x-\frac{\pi}{4}} \cdot \frac{1}{2cos(x-\frac{\pi}{4})} \end{eqnarray*}$

immer dieses langweilige l'hospital-anwenden Big Laugh

Big Laugh

so ist es doch viel schöner Augenzwinkern

Augenzwinkern

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07.09.2007, 16:37

WebFritzi

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RE: lim (x^5-1)/(x-1), x -> 1

Zitat:

Original von Dual Space
OT: Apropos Klugscheiss. Fritzi, wie bist du denn auf diese "aussagekräftige" Signatur gekommen?

Sag ich dir nicht. Zunge

Zunge

07.09.2007, 16:47

randy

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Cool, hab mich mal an die Polynomdivision gemacht und dabei ist folgendes rausgekommen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^5-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} x^4+x^3+x^2+x+1 \end{eqnarray*}$

komme leider auch hier nicht mehr weiter unglücklich

unglücklich

Diesmal mit de l'Hospital:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^5-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{5x^4}{1} = \frac{5}{1} = 5 \end{eqnarray*}$

funzt ! Tanzen

Tanzen

*juihui*
Schankedön Mit Zunge

Mit Zunge

jetzt probier ich mich mal an der zweiten Formel

07.09.2007, 16:48

WebFritzi

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Zitat:

Original von randy
Cool, hab mich mal an die Polynomdivision gemacht und dabei ist folgendes rausgekommen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^5-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} x^4+x^3+x^2+x+1 \end{eqnarray*}$

komme leider auch hier nicht mehr weiter unglücklich

unglücklich

Naja, du brauchst jetzt ja nur noch x = 1 einzusetzen.

07.09.2007, 16:52

randy

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lol

traurig

nachtrag:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pi/4} \frac{\tan(x-\pi/4) }{2*(x-\pi/4)} = \lim_{x \to \pi/4} \frac{1+\tan^2(x-\frac{\pi}{4})}{2*1} = \frac{1+0}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

hab ich das richtig gemacht ? Hammer

Hammer

07.09.2007, 18:12

tmo

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ja das ist richtig.

aber mein hinweis wurde missachtet unglücklich

unglücklich

07.09.2007, 18:16

randy

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so, ich bin's nochmals smile

smile

ich hoffe, ich darf nochmals eine frage stellen. und zwar möchte ich gerne die umkehrfunktion folgender funktion ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ln(x+5) \end{eqnarray*}$

was ja auch so geschrieben werden kann:

$\begin{eqnarray*} y = ln(x+5) \end{eqnarray*}$

Danach mach ich "e hoch" um das ln wegzubekommen:

$\begin{eqnarray*} e^y = x + 5 \end{eqnarray*}$

und löse auf x auf:

$\begin{eqnarray*} x = e^y - 5 \end{eqnarray*}$

und jetzt ?

@tmo: Könntest du mir das ein wenig ausführlich aufschreiben Mit Zunge

Mit Zunge

07.09.2007, 18:18

tmo

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du musst jetzt nur noch die variablen vertauschen und du hast die umkehrfunktion in der gewohnten schreibweise $\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$

edit:

viel ausführlicher geht es eigentlich nicht mehr Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \frac{tan(x-\frac{\pi}{4})}{2(x-\frac{\pi}{4})} = \frac{sin(x-\frac{\pi}{4})}{x-\frac{\pi}{4}} \cdot \frac{1}{2cos(x-\frac{\pi}{4})} \end{eqnarray*}$

der grenzwert des rechten faktors ist einfach zu berechnen, da du einfach nur pi/4 einsetzen musst.

den grenzwert des linken faktors kannst du auf den grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h} \end{eqnarray*}$ zurückführen, welcher dir bekannt sein sollte und welcher ferner mit $\begin{eqnarray*} sin'(0) \end{eqnarray*}$ übereinstimmt.

07.09.2007, 18:50

randy

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hi tmo

leider habe ich immer noch einen denkknoten, und zwar weiss ich nicht wie du überhaupt auf den rechten teil nach dem gleichheitszeichen kommst !

07.09.2007, 18:56

mr_endres

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$\begin{eqnarray*} \tan(x-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sin(x-\frac{\pi}{4})}{\cos(x-\frac{\pi}{4})} \end{eqnarray*}$

07.09.2007, 19:10

randy

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hui, wie heisst der spruch doch wieder : schuppen augen fallen und so Big Laugh

Big Laugh

Tanzen

$\begin{eqnarray*} \frac{tan(x-\frac{\pi}{4})}{2(x-\frac{\pi}{4})} = \frac{sin(x-\frac{\pi}{4})}{x-\frac{\pi}{4}} \cdot \frac{1}{2cos(x-\frac{\pi}{4})} = \frac{cos(x-\pi/4)}{1} * \frac{1}{2*1} = \frac{1}{1} * \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Gott

Gott

07.09.2007, 22:31

klarsoweit

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Ehrlich gesagt läßt die formale Schreibweise einiges zu wünschen übrig.

Warum fällt auf einmal das x raus und es stehen Zahlen da? Vermutlich weil du eine Grenzwertbildung durchgeführt hast. Dann solltest du das aber auch schreiben. Und wenn du eine Grenzwertbildung durchführst, dann kannst du das nicht bei einem Term machen und bei dem anderen nicht. Auch wenn hier das richtige Ergebnis rauskommst, gibt es auch mit dieser Methode falsche Ergebnisse:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~x \cdot \frac 1 x = 0 \cdot \frac 1 x = 0 \end{eqnarray*}$

07.09.2007, 22:57

randy

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stimmt es so ?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pi/4}\frac{tan(x-\frac{\pi}{4})}{2(x-\frac{\pi}{4})} = \lim_{x \to \pi/4}\frac{sin(x-\frac{\pi}{4})}{x-\frac{\pi}{4}} \cdot \frac{1}{2cos(x-\frac{\pi}{4})} = \frac{0}{0} * \frac{1}{2*1} = 1 * \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

07.09.2007, 23:29

tmo

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nein, denn $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert.

viel mehr musst du erst begründen warum der grenzwert von sin(x-pi/4)/(x-pi/4) für x --> pi/4 gleich 1 ist.

vielleicht schaust du mal hier vorbei:

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=53286

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