Potenz- vs. Taylorreihe

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vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
Potenz- vs. Taylorreihe
Hi!

Im Rahmen meiner Prüfungsvorbereitung habe ich mich heute mit Potenz- und Taylorreihen beschäftigt usw. Zunächt im einfachen Fall - den Mehrdimensonalen Fall schließe ich jetzt zunächst aus.

Mir sind einige Zusammenhänge leider noch nicht ganz klar geworden. Es geht um die Begriffe analytisch, holomorph und unendlich oft differenzierbar.

Stimmen also die Aussagen:

1) Bei einer analytischen Funktion stimmen Potenz- und Taylorreihe sowie die Funktion überein. Man kann im komplexen das ganze auch holomorphe Funktion nennen.

2) Eine unendlich oft diff'bare Funktion kann in konvergente Potenzreihen entwickelt werden, jedoch muss die Taylorreihe mit der Potenzreihe nicht übereinstimmen. Selbst wenn sie konvergiert, muss sie nicht mit der Funktion übereinstimmen.

3) Im 2) genannten Fall: Die Funktion entspricht der Taylorreihe, genau dann wenn das Restlied gegen Null geht??? Ist dann die Funktion nicht automatisch analytisch?

Also kurz: Ist analytisch in jedem Fall äquivalent zu unendlich oft diffbar? (Wahrscheinlich ja nicht, siehe meine Fälle).

Jedoch wird ja eine Richtung stimmen, und zwar .

Danke euch für die Hilfe... Wink
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Potenzreihe ist in ihrem Konvergenzkreis gleich ihrer Taylorreihe. Deswegen würde ich sagen, dass (2) falsch ist.

(1) ist natürlich richtig.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, und der Rest? Was sagen denn die anderen dazu?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, muss nochmal pushen - weiß denn keiner eine Antwort. Bitte! Wäre wirklich sehr nett Wink
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenz- vs. Taylorreihe
Zitat:
Original von vektorraum
2) Eine unendlich oft diff'bare Funktion kann in konvergente Potenzreihen entwickelt werden,

Also kurz: Ist analytisch in jedem Fall äquivalent zu unendlich oft diffbar?


Woher hast du eigentlich die Behauptung (2)? Ich würde meinen, dass das falsch ist.

Zur Frage: Nein! Nimm dir z.B. eine unendlich oft diffbare Funktion, die außerhalb eines kompakten Intervalles verschwindet, in dem kompakten Intervall jedoch nicht. Wäre die Funktion analytisch, dann könnte sie auf ganz IR in eine Potenzreihe entwickelt werden (ich denke, das meinst du doch, oder?). Eine solche Funktion könnte erweitert werden zu einer holomorphen Funktion auf IC. Diese Funktion verschwindet aber auf einer nichtdiskreten Menge und muss daher nach einem Satz aus der Funktionentheorie gleich Null sein, d.h. ÜBERALL verschwinden. Das ist aber nicht so. Also ist die Funktion nicht analytisch.

Vielleicht meinst du mit "analytisch" auch nur "lokal analytisch", d.h., dass die Funktion um jeden Punkt in eine Potenzreihe entwickelt werden kann. Deren Konvergenzradius ist nicht notwendigerweise Unendlich. Meinst du das?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenz- vs. Taylorreihe
Nein, ich benutze folgende Definition für analytisch:

Funktionen, die in ihrem Definitionsbereich um jeden Punkt in eine gegen die Funktion konvergente Potenzreihe entwickelt werden können, heißen analytisch.

Klar ist mir auch das nur unendlich oft differenzierbare Funktionen analytisch sein können.

OK. Also würde ich jetzt nur schlußfolgern können, dass

analytisch unendlich oft diff'bar

und die andere Richtung muss im Allgemeinen nicht gelten. OK???

Was ist mit 3) ?

Danke für das Gegenbeispiel.
 
 
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte zu 2 auch noch ein konkretes Beispiel beisteuern:



Wenn Du die Taylorreihe mit Entwicklungspunkt betrachtest, kannst Du feststellen, dass .

Also hast Du eine konvergente Taylorreihe mit ...
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenz- vs. Taylorreihe
Zu (3): Zweimal ja. Allerdings machst du nirgendwo klar, in welchem Bereich deine Reihen konvergieren sollen. Es kann ja auch sein, dass die Funktion nur in der Nähe des Entwicklungspunktes gleich ihrer Taylorreihe ist.


Zitat:
Original von vektorraum
Also würde ich jetzt nur schlußfolgern können, dass

analytisch unendlich oft diff'bar

und die andere Richtung muss im Allgemeinen nicht gelten. OK???


Richtig. Das kann man sich dennoch mit obigem Gegenbeispiel klarmachen. Man nehme sich als Entwicklungspunkt einen Randpunkt des kompakten Intervalls.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenz- vs. Taylorreihe
@Frooke: Danke für das Gegenbeispiel.

@Webfritzi: Danke - ich lese mir das nachher nochmal in aller Ruhe durch und stell dann ggf. noch weitere Fragen.
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