Partialsumme

08.09.2007, 09:21

wodi

Partialsumme

Hi kann mir wer helfen eine Formel für das berechnen der Partialsumme folgender Folge zu finden: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{8} \end{eqnarray*}$

Danke schon mal für eure hilfe.

08.09.2007, 10:04

Airblader

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Behandle Zähler und Nenner doch mal getrennt.

Wie lässt sich die Folge 2,4,8,... darstellen?
Wie lässt sich die Folge 1,3,5,... darstellen?

air

08.09.2007, 10:18

wodi

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naja ich seh aber bisher nur wie ich das n Glied der Folge berechne
$\begin{eqnarray*} \frac{2n-1}{2^{n} } \end{eqnarray*}$

08.09.2007, 10:26

Dual Space

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... die nte Partialsumme ist dann

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \frac{2^n-1}{2^n} \end{eqnarray*}$

08.09.2007, 10:31

Chris2005

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falsch, ist nämlich:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \frac{2\cdot i - 1}{2^i} \end{eqnarray*}$

und nicht

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \frac{2^n - 1}{2^n} \end{eqnarray*}$

08.09.2007, 10:39

Dual Space

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Da haste recht Chris. Freude

Sorry für meine Typo.

08.09.2007, 10:39

tmo

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ich würde bei i = 0 anfangen. dann hat man:

$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{i=0}^n~\frac{2n+1}{2 \cdot 2^n} = \sum_{i=0}^n~\frac{n}{2^n} + \sum_{i=0}^n~\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$

die rechte summe ist eine geometrische reihe, deren partialsumme man explizit berechnen kann.

08.09.2007, 11:43

Frooke

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Zitat:

Original von tmo
ich würde bei i = 0 anfangen. dann hat man:

$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{i=0}^n~\frac{2n+1}{2 \cdot 2^n} = \sum_{i=0}^n~\frac{n}{2^n} + \sum_{i=0}^n~\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$

die rechte summe ist eine geometrische reihe, deren partialsumme man explizit berechnen kann.

Auch hier:

$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{i=0}^n~\frac{2i+1}{2 \cdot 2^i} = \sum_{i=0}^n~\frac{i}{2^i} + \sum_{i=0}^n~\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^i \end{eqnarray*}$

Und die linke Seite kann man auch ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~\frac{i}{2^i}=\frac{1}{2^n}\left(2^{n+1}-(n+2)\right) \end{eqnarray*}$

08.09.2007, 11:45

Leopold

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Man könnte mit

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{1}{2} \cdot \sum_{k=1}^n~x^{2k-1} = \frac{1}{2x} \sum_{k=1}^n~x^{2k} = \frac{1}{2x} \left( -1 + \sum_{k=0}^n~\left( x^2 \right)^k \right) \end{eqnarray*}$

beginnen und den Summenwert berechnen (geometrische Reihe). Die gesuchte Partialsumme ist dann $\begin{eqnarray*} F' \left( \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{2}} \right) \end{eqnarray*}$ .

08.09.2007, 11:47

tmo

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ups da hab ich den selben fehler gemacht unglücklich

danke für die korrektur smile

zur vollständigkeit und damit dem threadersteller nicht alles vorgekaut wird Augenzwinkern

:

$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{i=0}^n~\frac{i}{2^i}= \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + ... + \frac{n}{2^n} = \frac{1}{2^n}(2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-2} + 3 \cdot 2^{n-3} + ... + n \cdot 2^{n-n}) \end{eqnarray*}$

daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} 2s_n = \frac{1}{2^n}(2^{n} + 2 \cdot 2^{n-1} + 3 \cdot 2^{n-2} + ... + n \cdot 2^{1}) \end{eqnarray*}$

jetzt subtrahiere mal die beiden gleichungen.

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