Wahrscheinlichkeit für Würfeln:

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08.09.2007, 11:44	Cashflow	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit für Würfeln: Hallo, wir würfeln mit zwei Würfeln gleichzeitig oder mit einem Würfel zweimal hintereinander. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das die Summe der beiden Augenzahlen gerade ist? --> Wer kann mir hierzu folgendes sagen: * Es git ja meiner Meinung nach 36 verschiedene Kombinationen, muss ich dann für das Ergebnis zählen wieviele der Kombinationen eine gerade Augenzahl ergeben --> 18/36 oder würde das auch einfacher gehen, wäre nett, wenn jemand den Lösungsweg angibt. * Irgendwie hats bei mir noch nicht ganz klick gemacht, da ich eigentlich von 6/12 ausgegangen wäre, was aber falsch ist, auch wenn die Wahrscheinlichkeit wieder stimmen würde. --> Grund: 6 gerade Zahlen bei 12 möglichen Zahlen --> Was ist da mein Fehler? Vielen Dank
08.09.2007, 11:50	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
die summe zweier zahlen ist genau dann gerade, wenn die zweite zahl hinsichtlich der teilbarkeit durch 2 die selbe eigenschaft hat wie die erste zahl. d.h. das ergebnis des ersten würfels ist völlig egal. nur der zweite wurf muss dann entsprechend gerade/ungerade werden, sodass sich p = 0,5 ergibt.
08.09.2007, 11:58	Cashflow	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für die Antwort, hilft mir schon mal ein großes Stück weiter. Kannst Du mir noch erklären warum in der Lösung 18/36 steht? Mir ist klar das das 0,5 ergibt, jedoch verstehe ich nicht, wie man auf 18/36 kommt. ODER: MAn soll die Wahrscheinlichkeit für Summe der beiden Augenzahlen größer als 7 ermitteln: Musterlösung: 15/36 Auch hier verstehe ich nicht, wie man auf die 15/36 kommt?
08.09.2007, 12:12	Gnu	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist ein Laplace Experiment, also gilt: $\begin{eqnarray} P(A)=\frac{Anzahl guenstige Faelle}{Anzahl alle Faelle} \end{eqnarray}$ Summe soll gerade sein, dazu muss Du nur wissen dass eine Summa dann gerade ist wenn die beiden Summanden gerade oder ungerade sind. Jetzt kannst Du relativ einfach durchzählen: 1. Wurf ergibt 1, dann ist die Summe gerade wenn 2. Wurf: 1,3,5 1. Wurf ergibt 2, dann ist die Summe gerade wenn 2. Wurf: 2,4,6 ... Insgesamt kannst Du 6 Möglichkeiten im ersten Wurf haben für das Ziel und dann 3 Möglichkeiten im zweiten Wurf, also insgesamt 3 * 6 = 18. Du betrachtest also ein Tupel (Erster Wurf,Zweiter Wurf). Wegen Laplace (also diskrete Gleichverteilung) hat jedes Tupel Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} \frac{1}{36} \end{eqnarray}$ . Daraus folgen die 18/36. Beim zweiten kannst Du analog vorgehen: 1. Wurf sei seine 1. Dann ist egal was der zweite Wurf ist, größer als 7 wird es in keinem Fall. 1. Wurf sei eine 2. Dann kann der zweite Wurf nur eine 6 sein, das ist 8 > 7, die restlichen sind zu klein. ... Jetzt erkennst Du auch hier schnell das Muster welche Fälle für den 2. Wurf günstig sind und kannst es aufsummieren. Dann müsste Deine 15/36 rauskommen weil insgesamt 15 Fälle günstig sein können.
08.09.2007, 12:14	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
man kommt auf 18/36, weil es $\begin{eqnarray} 6^2 = 36 \end{eqnarray}$ möglichkeiten gibt, und davon $\begin{eqnarray} 6 \cdot 3 = 18 \end{eqnarray}$ gerade sind. denn man kann jede zahl zwischen 1 und 6 genau mit 3 andern zahlen zwischen 1 und 6 kombinieren, sodass die summe gerade ist: 1 -> 1, 3, 5 2 -> 2, 4, 6 usw... zur zweiten aufgabe: die 6 kann man mit allen außer der 1 kombinieren, damit die summe > 7 ist. die 5 kann man nur mit allen außer der 1 und 2 kombinieren. die 1 kann man mit keiner anderen kombinieren. d.h. es gibt 5 + 4 + ... + 0 möglichkeiten, bei denen die summe > 7 ist.
08.09.2007, 12:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht eine Erläuterung zur Antwort von tmo: Betrachte das Bernoulli-Experiment mit "gerade" als Erfolg und "ungerade" als Mißerfolg, beide mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Und dieses Bernoulli-Expermint mußt du zweimal durchführen (erster Wurf / zweiter Wurf). Du kannst das an einem Baum veranschaulichen. Er hat zwei Stufen, nach oben jeweils den Knoten "gerade", nach unten den Knoten "ungerade"; an allen Ästen steht $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ als Wahrscheinlichkeit. Dann wird das interessierende Ereignis durch die Ausgänge "gerade/gerade", "ungerade/ungerade" beschrieben. Wahrscheinlichkeit nach den Pfadregeln: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Die von dir vorgeschlagene Lösung ist die kombinatorische. Du hast insgesamt 36 Ausgänge: (1\|1), (1\|2), (1\|3), ... , (2\|1) , (2\|2) , ... , ... , (6\|6). Von diesen sind genau 18 Möglichkeiten günstig. Ergebnis: $\begin{eqnarray} \frac{18}{36} \end{eqnarray}$ Die zweite Aufgabe löst du am besten auch mit diesem kombinatorischen Ansatz. Welche Ausgänge sind günstig?
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08.09.2007, 12:19	Cashflow	Auf diesen Beitrag antworten »
Viele Dank für eure Hilfe, jetzt ist der Groschen gefallen!
08.09.2007, 12:47	Cashflow	Auf diesen Beitrag antworten »
So jetzt wenn ich das ganze weiterspinne und zwar diese zwei Einzelergebnisse durch eine Disjunktion verbinde, dann habe ich folgendes Ergebnis. Meine große Frage, kann ich das auch einfacher haben oder gibts keinen einfacheren Lösungsweg als meinen: P (A v B) = P(A) + P(B) - P(A^B) 1. Würfel 2. Würfel --> P(A^B) 1 ------ - 2 ------ 6 3 -----5 4 ----4,6 5 ----- 3,5 6 -------2,4,6 --> 9 Möglichkeiten P (AvB)= 18/36 + 15/36 - 9/36 = 24/36
08.09.2007, 13:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , was $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ?
08.09.2007, 13:14	Cashflow	Auf diesen Beitrag antworten »
A wäre: die Summe der beiden Augenzahlen ist gerade B wäre: die Summe der beiden Augenzahlen ist größer als 7
08.09.2007, 13:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum untersuchst du nicht einfach, wann die Augensumme 8,10 oder 12 entsteht?

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