Gegenseitige Lage von Ebenen in Abhängigkeit von Parametern

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k.zwo Auf diesen Beitrag antworten »
Gegenseitige Lage von Ebenen in Abhängigkeit von Parametern
Hallo Leute,
ich könnte mal wieder ein paar Tipps gebrauchen.
Und zwar verzweifle ich an der folgenden Aufgabe:

Bestimmen Sie a, b und c so, dass die Ebenen E1 und E2

(1) sich schneiden
(2) zueinander parallel sind und keine gemeinsamen Punkte haben
(3) identisch sind.

E1:

E2:

Für (1) müssen die Richtungsvektoren linear unabhängig sein.
Für (2) müssen sie komplanar sein.
Für (3) muss (2) gelten sowie die Differenz der Stützvektoren linear abhängig zu diesen sein.

Mir ist klar, was ich rechnen muss, aber ich komm bei den Gleichungssystemen einfach auf kein Ergebnis.

Vielen dank im Voraus.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

du redest hier von Richtungsvektoren - was meinst du damit? Den Normalenvektor der jeweiligen Ebene?

Ansonsten poste doch mal deine Rechnungen, dann sehen wir weiter.


Gruß, therisen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Kriterium (1) stimmt nicht: Vier Vektoren des dreidimensionalen Raumes sind immer linear abhängig. Also geht es damit nicht. Damit sich zwei Ebenen in einer Geraden schneiden, müssen ihre Normalenvektoren linear unabhängig sein.

Bei (2) und (3) müssen die Normalenvektoren linear abhängig sein. Haben die Ebenen auch noch einen gemeinsamen Punkt, so trifft (3) zu, ansonsten (2).
k.zwo Auf diesen Beitrag antworten »

@therisen

Ich meine damit die Spannvektoren der jeweiligen Ebene. Wenn man davon ausgeht, dass die Parameterform einer Ebenengleichung aus einem Stüztvektor (der erste Vektor) und jeweils 2 linear unabhängigen Spannvektoren/Richtungsvektoren (die beiden letzten mit dem Parameter davor) besteht.

@Leopold

Ich bin davon ausgegangen, dass es klar ist, dass ich die Untersuchung der jeweils beiden Spannvektoren der ersten Ebene und einem der Spannvektoren der zweiten Ebene auf Unabhängigkeit meine.

Was bezeichnet ihr als Normalvektoren? Meine sogenannten Richtungsvektoren/Spannvektoren?

EDIT: Ich glaube, ich hab gerade eine Idee bekommen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von k.zwo
Ich bin davon ausgegangen, dass es klar ist, dass ich die Untersuchung der jeweils beiden Spannvektoren der ersten Ebene und einem der Spannvektoren der zweiten Ebene auf Unabhängigkeit meine.


So stimmt es. Das ist aber etwas ganz anderes, als was du zuerst sagtest. In diesem Zusammenhang kommt es auf jedes Wort an.

Zitat:
Original von k.zwo
Was bezeichnet ihr als Normalvektoren? Meine sogenannten Richtungsvektoren/Spannvektoren?


Wenn dir der Begriff "Normalenvektor" noch nicht bekannt ist, dann mache es mit Hilfe der Spannvektoren, so, wie es im ersten Zitat steht.
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Normalevektor ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht.

Für bzw müssen die Spannvektoren einer Ebene jeweils separat mit beiden Spannvektoren der anderen Ebene komplanar sein. Welcher Fall vorliegt, kannst du dann zum Beispiel dadruch feststellen, ob der Vektor zwischen den beiden Aufpunkten der Ebenen und zwei Spannvektoren einer Ebene komplanar sind.
 
 
k.zwo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aRo
Ein Normalevektor ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht.


Hätte ich mir aber auch denken können. Die Normale aus der Geometrie hätte mir eigentlich geläufig sein müssen.

Hab mein Problem gelöst. Geholfen hat mir Leopolds Post.

[...]Vier Vektoren des dreidimensionalen Raumes sind immer linear abhängig.[...]

Ich habe nämlich bei der Untersuchung auf Abhängigkeit alle vier Vektoren einbezogen und nicht bei jeweils einer Ebene die beiden Richtungsvektoren separiert, wie ich es eigentlich vorhatte. Hammer

Vielen dank!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest zur Kontrolle dein Ergebnis mitteilen (keine Rechnung).
k.zwo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.

(1):
(2):
(3):

Lambacher Schweizer - Lineare Algebra und analytische Geometrie; Leistungskurs; Seite 100; Aufgabe 9a
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vorsicht bei (1)! Es muß heißen:

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