Linearkombinationen (Übung)

08.09.2007, 16:17

arith

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Linearkombinationen (Übung)

Die Aufgabenstellung ist folgende und bevor ich weitermache, poste ich mal eine Aufgabe. Liege ich richtig?

Stelle $\begin{eqnarray*} \vec{d} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \end{eqnarray*}$ dar.

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \vec{b} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \vec{c} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \vec{d} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Darstellung: $\begin{eqnarray*} \vec{-b} + 13 \vec{c} \end{eqnarray*}$

08.09.2007, 16:20

therisen

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Nein, das ist nicht richtig.

08.09.2007, 16:30

WebFritzi

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RE: Linearkombinationen (Übung)

Zitat:

Original von arith
Meine Darstellung: $\begin{eqnarray*} \vec{-b} + 13 \vec{c} \end{eqnarray*}$

Ich weiß, wie du darauf kommst. Du schaust dir die ersten beiden Koordinaten an und denkst: Hey, die muss ich ja einfach nur aufeinander addieren, um auf die rechte Seite zu kommen. (EDIT: OK, stimmt nicht ganz) Dann passe ich eben den Faktor der dritten Koordinate an das Ergebnis an. Aber das läuft so nicht. Sobald du nämlich einen Vektor mit einer Zahl multiplizierst, multiplizierst du ALLE Koordinaten.

08.09.2007, 18:07

arith

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RE: Linearkombinationen (Übung)
Ich bin laut Buch so vorgegangen:

Es gilt: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = 0 \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} - 1 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + 13 \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

08.09.2007, 18:12

aRo

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hö, das ist aber quatsch. du musst d aus a,b,c darstellen. das heißt, du musst von a,b,c jeweils ein stück benutzen.

das schreibst du z.B. so: $\begin{eqnarray*} \vec{d} = k\cdot\vec{a} +l\cdot\vec{b} +m\cdot\vec{c} \end{eqnarray*}$

nun hast du ein Gleichungssystem, welches du lösen musst.

08.09.2007, 18:45

arith

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RE: Linearkombinationen (Übung)
Der Anfang ist demnach so:

$\begin{eqnarray*} s \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2s \\ -s \\ 3s \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t \\ 3t \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -u \\ 2u \\ u \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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08.09.2007, 18:52

aRo

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richtig. als nächsten schritt, schreibst du dir das als 3 gleichungen auf. 3 gleichungen und 3 variablen: du solltest s,t,u nun bestimmen können.

08.09.2007, 19:00

arith

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I) 2s + t - u = 0

II) -s + 3t + 2u = -1

III) 3s + u = 13
_________________

Soweit ich mich noch erinnere (das mir vorliegende Buch ist einfach sauschlecht), muss man doch jetzt die Variablen jeweils eliminieren, oder?

Ich würde so vorgehen:

I) 2s + t - u = 0

II) -s + 3t + 2u = -1

III) 3s + u = 13
_________________

4s = 0
4t = -1
2u = 13

s = 0

t = -1/4

u = 6,5

08.09.2007, 19:03

aRo

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das Gleichungssystem hast du schon einmal richtig hingeschrieben. und auch mit dem Eliminieren hast du recht. Wie du jedoch auf deine Ergebnisse kommst, weiß ich leider nicht.
Tipp: In (III) ist t schon eliminiert. Eliminiere t nun auch aus (I) oder besser (II). Dann hast du 2 Gleichungen mit s und u. Eliminiere wieder eine der beiden und berechne die andere.

08.09.2007, 22:39

arith

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-3 a - 2 b + 4 c = d (jeweils mit Pfeil drüber)

Den Rechenweg jetzt hier aufzuschreiben, dauert zu lang, da ich zur Zeit nur über eine ewig lange Matrizenausrechnung verfüge. Keine Ahnung, ob es da noch einen anderen Rechenweg gibt. Muss ich nochmal schauen...

08.09.2007, 22:52

Bjoern1982

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Zitat:

I) 2s + t - u = 0

II) -s + 3t + 2u = -1

III) 3s + u = 13

Wieder einmal geht es mit dem Einsetzungsverfahren ruck zuck und man kann die Lösung mit etwas Übung schon im Kopf sehen:

---> 3. Gleichung nach u auflösen

---> Term für u in 1. Gleichung einsetzen und nach t auflösen

---> Terme für u und t in 2. Gleichung einsetzen und nach s auflösen

Gruß Björn

08.09.2007, 22:57

Duedi

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@ arith
Nicht ganz aber fast:
$\begin{eqnarray*} 3 \cdot \vec{a} -2 \cdot \vec{b} +4 \cdot \vec{c} = \vec{d} \end{eqnarray*}$

08.09.2007, 23:07

arith

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Zitat:

Original von Bjoern1982

Zitat:

I) 2s + t - u = 0

II) -s + 3t + 2u = -1

III) 3s + u = 13

Wieder einmal geht es mit dem Einsetzungsverfahren ruck zuck und man kann die Lösung mit etwas Übung schon im Kopf sehen:

---> 3. Gleichung nach u auflösen

---> Term für u in 1. Gleichung einsetzen und nach t auflösen

---> Terme für u und t in 2. Gleichung einsetzen und nach s auflösen

Gruß Björn

Soweit ich das verfolge, würde das so aussehen:

1. Schritt lt. Bjoern

3s + u = 13 | - 3s
u = 13 - 3s

2. Schritt lt. Bjoern

2s + t - 13 - 3s = 0
-s + t - 13 = 0 | +s +13
t = 13 + s

3. Schritt lt. Bjoern

-s + 3 (13 + s) + 2 (13 - 3s) = -1
-s + 39 + 3s + 26 - 6s = -1
65 - 2s = -1 | - 65
- 2s = -66 | : (-2)
s = 33

08.09.2007, 23:17

Bjoern1982

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Zitat:

2s + t - 13 - 3s = 0

Hier ist ein Fehler Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.09.2007, 23:31

arith

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Zitat:

Original von Bjoern1982

Zitat:

2s + t - 13 - 3s = 0

Hier ist ein Fehler Augenzwinkern

Augenzwinkern

verwirrt

Vorzeichenfehler? Ich hab alles kontrolliert.

08.09.2007, 23:44

Bjoern1982

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2s + t -u =2s+t- (13 - 3s) =2s+t-13+3s ...

08.09.2007, 23:56

arith

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Jepp, hast Recht. Nochmal:

Falsch:

Zitat:

Original von arith

2. Schritt lt. Bjoern

2s + t - 13 - 3s = 0
-s + t - 13 = 0 | +s +13
t = 13 + s

3. Schritt lt. Bjoern

-s + 3 (13 + s) + 2 (13 - 3s) = -1
-s + 39 + 3s + 26 - 6s = -1
65 - 2s = -1 | - 65
- 2s = -66 | : (-2)
s = 33

Richtig:

2s + t - (13 - 3s) = 0
5s + t - 13 = 0 | + 13 - 5s
t = 13 - 5s

3. Schritt:

-s + 3 (13 - 5s) + 2 (13 - 3s) = -1
-22 s + 65 = -1 | -65
-22 s = -66 | : (-11)
s = 3

Yeah... Big Laugh

Big Laugh

09.09.2007, 00:00

Bjoern1982

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Freude

09.09.2007, 00:22

arith

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Und schon haperts wieder...

I. 3s - 5t + 2u = -3
II. -s + t - u = -1
III. 4s - 2t + 3u = 10

1. Schritt

-s + t - u = -1 | +s +u
t = 1 + s + u

2. Schritt

4s - 2 (1 + s + u) + 3u = 10
4s - 2 - s - u + 3u = 10
3s + 2u - 2 = 10 | -3s + 2
2u = 3s + 12 | :2
u = 1,5s + 6

3. Schritt

3s - 5 (1 + s + u) + 3 (1,5s + 6) = -3
3s -5 - s - u + 4,5s + 18 = -3
6,5s - u + 13 = -3 | +u - 13
6,5s = -16 + u | : 6,5
s = totaler Mist, der da rauskommt

Sieht jemand, wo es hakt?

09.09.2007, 00:27

Bjoern1982

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Zitat:

1. Schritt

-s + t - u = -1 | +s +u
t = 1 + s + u

Schon hier ist ein Vorzeichenfehler, denn aus der -1 wird bei dir aufeinmal 1

1

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