Eigenwerte, Hessenberg-Matrix

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yogi Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte, Hessenberg-Matrix
Ich habe folgendes Problem.

In unserem Skript steht:

Zu jeder -Matrix gibt es eine unitäre -Matrix , so daß



die Schursche Normalform annimmt.


Bei stehen ja die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen.
Etwas später haben wir geschrieben:

(...) Wir müssen mit der oberen Hessenberg-Matrix zufrieden sein, denn die Überführung in eine ähnliche obere Dreiecksform ist i.a. nur mit unendlich vielen Transformationsschritten möglich.


Warum ist das so? Eine Hessenberg-Matrix hat die Form einer oberen Dreiecksmatrix, wobei die Werte der ersten Nebendiagonalen auch noch ungleich 0 sind. Aber diese Form kann ich doch mit n Operationen auf obere Dreiecksform überführen. Und nach dem ersten Zitat existiert doch sogar eine unitäre (endliche) Matrix um sogar Schursche Gestalt zu erhalten?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte, Hessenberg-Matrix
Könntest Du die (...) etwas ausführen? Was soll denn das Ziel sein, bei dem ihr Euch mit der Hessenberg-Matrix begnügen müsst?

Theoriesätze (dann exisiert - vielleicht sogar eindeutig - ) sagen i.a. noch nichts über die praktische Durchführbarkeit aus.

LG,
tigerbine
yogi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das haben wir ganz am Anfang des Kapitels zur numerischen Berechnung von Eigenwerten aufgeschrieben. Man transformiert eine Matrix ja zunächst auf einfache, ähnliche Normalform und ermittelt dann von dieser die Eigenwerte numerisch. Und hierzu haben wir den Satz und die Bemerkung aufgeschrieben. Das Ziel ist hier zunächst nur, eine Matrix in eine einfache Normalform zu überführen. (Überschrift war "Transformation auf ähnliche Matrizen einfacher Gestalt")

Eigentlich geht es mir allgemein nur um das Verständnis. Also, wenn ich erst einmal eine Hessenberg-Matrix habe - was könnte mich denn dann in der Praxis davon abhalten, etwa mit Gauß die Nebendiagonale zu eliminieren und so zur Dreiecksgestalt zu gelangen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Im Moment bin ich dem Thema nicht drinnen und muss gerade was anderes fertig machen. Ich schaue aber morgen einmal nach, ok?

LG,
tigerbine
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin hoffentlich schon drin.

Zunächst mußt Du im Kopf behalten, daß die Eigenwerte nur numerisch ermittelt werden sollen, also approximativ durch Iterationsverfahren. (WARUM?)

Für die meisten dieser Verfahren ist es günstig, wenn die Ausgangsmatrix bereits einfache Gestalt hat, z. B. Hessenberg. Deshalb also die ganze Mühe.

Wichtig bei jeder Art von Vorbehandlung ist, und das hast Du übersehen, daß die Eigenwerte dadurch nicht - oder jedenfalls nur in beherrschbarer Weise - verändert werden. D. h. wir wollen die Vorbehandlung unbedingt nur mit Ähnlichkeitstrafos durchführen. Solche Trafos ergeben sich z. B. aus Householder-Spiegelungen. Mit endlich vielen solchen Spiegelungen kann man i. a. aber nur eine Hessenberg-Matrix erreichen.

Eine Nachbehandlung mit Gauß - oder Gauß stattdessen - ist ausgeschlossen, weil das keine Ähnlichkeitstrafo wäre.

Der Satz von Schur bringt keinen praktischen Ausweg. Man KANN zwar die Ausgangsmatrix unitär - also insbesondere eigenwerterhaltend - auf Dreiecksform bringen. Aber leider nicht mit endlich vielen Householder-Spiegelungen.

Hingegen die Konstruktion, welche dem Satz von Schur - oder wahlweise: der Jordannormalform - zugrundeliegt, kommt aus den gleichen Gründen nicht in Frage, aus denen man sich überhaupt von vornherein die Mühe macht, einen anderen Weg zu finden als schlicht die (numerische) Berechnung von Nullstellen einer Determinantenfunktion: sie ist numerisch instabil und fürchterlich aufwendig.
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Achja, bevor ich es vergesse: Diese Frage kam zumindest bei mir in der Diplomprüfung vor.
 
 
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