Polynome / Polynomdivision

08.09.2007, 18:15

polynomfrager

Polynome / Polynomdivision

Hallo Leute,

habe ein paar Fragen zu Polynomen und zur Polynomdivision.

1. Ist es richtig, wenn ich zum Beispiel ein Polynom 4. Grades habe, wobei unter den 4 Nullstellen eine doppelte ist, dass das Polynom zerlegt dann wie folgt geschrieben werden kann?

(bei doppelter NS x=1)

$\begin{eqnarray*} p(x)=(x-1)*(x-1)^2*(x-3)*(x-5) \end{eqnarray*}$

Würde es ein dreifache, vierfache... geben würde man dementsprächend den Exponenten dann erweitern.

Oder ist das mit den Exponten falsch und es ist ohne richtig? Die Frage ist mir gekommen, weil ich sowas ähnliches jetzt bei der Polynomdivision gesehen habe. Dazu jetzt mehr:

Also Polynomdivision, gibt es nur einfache NS des Nenners, dann kriege ich das eigentlich über den Ansatz

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{A}{x-x_{01}}+ \frac{B}{x-x_{02}}+ \frac{C}{x-x_{03}}+u.s.w. \end{eqnarray*}$

Und anschließendem multiplizieren mit dem Nenner und dann einsetzten der NS immer hin. Ich glaube es nennt sich Koeffizientenvergleich.

So, was ist nun aber wenn man nicht nur einfache NS hat, sondert mehrfache und dann auch noch gemsicht, also z.b. eine doppelte und eine einfache (insgesamt drei NS). Wenn ich wikipedia richtig verstanden habe sieht der Ansatz in dem Fall folgendermaßen aus (daher rührt übrigens meine erste Frage):

Ich mach das mal mit einer konkreten Aufgabe als Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x+2}{x^3-2x^2+x} \end{eqnarray*}$

Ansatz richtig? :

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{A}{x-1}+ \frac{B}{(x-1)^2}+ \frac{C}{x-0} \end{eqnarray*}$

So wenn das soweit richtig ist, wie mach ich dann weiter. Wenn ich jetzt einfach wieder den Nenner von links nach rechts rübermultipliziere erhalte ich ja nicht sowas schönes wie bei einer Aufgabe mit einfachen NS, weil ich da den Nenner durch (x-1)^2 teilen muss und so.

Also viele Fragen, wäre klasse wenn ich morgen schlauer bin als heute :-) Danke im Voraus.

08.09.2007, 18:19

therisen

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RE: Polynome / Polynomdivision

Zitat:

Original von polynomfrager
Ist es richtig, wenn ich zum Beispiel ein Polynom 4. Grades habe, wobei unter den 4 Nullstellen eine doppelte ist, dass das Polynom zerlegt dann wie folgt geschrieben werden kann?

(bei doppelter NS x=1)

$\begin{eqnarray*} p(x)=(x-1)*(x-1)^2*(x-3)*(x-5) \end{eqnarray*}$

Nein, $\begin{eqnarray*} 1+2+1+1=5\neq4 \end{eqnarray*}$ (wenn du den ersten Faktor weglässt, wäre das eine Möglichkeit).

Zitat:

Original von polynomfrager
Ich mach das mal mit einer konkreten Aufgabe als Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x+2}{x^3-2x^2+x} \end{eqnarray*}$

Ansatz richtig? :

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{A}{x-1}+ \frac{B}{(x-1)^2}+ \frac{C}{x-0} \end{eqnarray*}$

Ja. Jetzt Koeffizientenvergleich. Nicht abschrecken lassen Augenzwinkern

Gruß, therisen

08.09.2007, 18:38

polynomfrager

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Danke für deinen Mutzuspruch :-) Ok, dann probiere ich mal:

$\begin{eqnarray*} x+2=A(x^2-x)+B*(x-0)+C(x-1)^2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt die NS einsetze komme ich auf

B=3 und
C=2

Aber A fällt immer raus, egal ob ich 1 oder 0 einsetzte. Heißt das A ist beliebig?

08.09.2007, 18:44

therisen

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Zitat:

Original von polynomfrager
Ok, dann probiere ich mal:

$\begin{eqnarray*} x+2=A(x^2-x)+B*(x-0)+C(x-1)^2 \end{eqnarray*}$

Das liefert das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} A+C=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B-A-2C=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C=2 \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} A=-C=-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=1+2C+A=1+4-2=3 \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

08.09.2007, 18:51

polynomfrager

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Mhh, das ist mir nicht klar, wie komme ich von meiner Gleichung auf die drei Gleichungen?

08.09.2007, 18:54

therisen

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Indem du deinen Term vollständig ausmultiplizierst und dann nach den Potenzen von x sortierst. Dann kannst du einen Koeffizientenvergleich durchführen und erhältst das von mir angegebene Gleichungssystem.

08.09.2007, 19:13

polynomfrager

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Das kapier ich nicht.

Also das ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} x+2=Ax^2+Cx^2-Ax+Bx-2Cx+C \end{eqnarray*}$

Aber wie soll man denn von da auf das Gleichungssystem kommen? Und vor allem wie kann bei der 1. Gleichung zum Beispiel rechts eine 0 stehen? Bin grad etwas verwirrt.

08.09.2007, 19:15

therisen

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$\begin{eqnarray*} 0x^2+x+2=Ax^2+Cx^2-Ax+Bx-2Cx+C =(A+C)x^2+(B-A-2C)x+C \end{eqnarray*}$

Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn ihre Koeffizienten gleich sind.

08.09.2007, 20:31

mYthos

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Wirklich Hochschulstoff? Ich tät's gern in die Schul-Algebra verschieben!

mY+

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