wann gilt...

08.09.2007, 19:43

Bisco

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wann gilt...

hallo,
ich hoffe ich bin hier im richtigen forum, aber ich stehe vor folgendem problem:
wann gilt: $\begin{eqnarray*} a^b=b^a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$
habe nur noch im hinterkopf, dass e der obere grenzwert ist (falls ich nicht ganz im falschen film bin)... gilt das nur für rationale zahlen? und was ist die untere grenze? könnte mir da vielleicht jemand auf die sprünge helfen? würde mich auch sehr über nähere erläuterungen dieses phänomens freuen smile

smile

danke schon mal!

08.09.2007, 22:59

Soliton

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RE: wann gilt...
Ich habe davon wenig Ahnung, und um ehrlich zu sein, verstehe ich nicht, nach welchen Grenzwerten Du fragst, aber führt die Aufgabe, solche Paare (a, b) zu finden, nicht auf eine transzendente Gleichung, also eine, die sich nicht wirklich lösen läßt?

Z. B. sowas wie: c*lna - a = 0. Wobei c = b/lnb, b also zunächst beliebig (soweit definiert). Oder geht es darum, einen Bereich abzustecken, außerhalb dessen jedenfalls keine Lösungen existieren?

08.09.2007, 23:33

Bisco

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danke für die antwort, aber soweit ich mich erinnern kann, lässt sich diese aufgabe sehr wohl lösen, weiß leider nur nicht mehr wie verwirrt

verwirrt

diese bedingung gilt nur innerhalb bestimmter grenzen, da bin ich mir ziemlich sicher, und ich bin mir auch 90% sicher dass die obere grenze e ist. die untere könnte vielleicht 0 oder 1 sein. ich weiß nur noch, dass es sich irgendwie durch eine kurve ausdrücken ließ oder so... sorry falls ich wirres zeug rede, aber das beschäftigt mich schon seit tagen! smile

smile

09.09.2007, 00:53

Dual Space

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Seien a,b>0 und a<>1 , dann

$\begin{eqnarray*} a^b=b^a\Longleftrightarrow b\cdot\ln a=a\cdot\ln b\Longleftrightarrow \frac{b}{a}=\frac{\ln b}{\ln a} \end{eqnarray*}$ .

Da Logarithmus-Funktionen nicht linear sind und ln(x) < x, gilt die Behauptung mMn nur für a=b.

Anderer Ansatz: Fixiere a<>0 und bestimme sämtliche Fixpunkte der Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{a\cdot \ln x}{\ln a} \end{eqnarray*}$ .

x=a ist offensichtlich ein Fixpunkt. Gibt es aber noch andere?

09.09.2007, 01:01

Abakus

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Du könntest nach "LambertW" im Forum suchen. Da gab es schon interessante Diskussionen.

Oder schaue hier: LambertW.

Grüße Abakus smile

smile

09.09.2007, 01:28

WebFritzi

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@Dual Space: $\begin{eqnarray*} 4^2 = 2^4. \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Soviel auch dazu, dass e die "obere Grenze" darstellen soll.

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09.09.2007, 01:49

WebFritzi

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Durch Probieren rausgefunden Augenzwinkern

Augenzwinkern

:

Für jedes $\begin{eqnarray*} a\in (1,\infty)\setminus\{e\} \end{eqnarray*}$ gibt es genau ein $\begin{eqnarray*} b\in (1,\infty)\setminus\{a\}, \end{eqnarray*}$ so dass

$\begin{eqnarray*} a^b = b^a \end{eqnarray*}$

gilt. Für a < e ist b > e, und für a > e ist b < e, d.h. $\begin{eqnarray*} (a - e)(b - e) < 0. \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} a\in (0,1]\cup\{e\} \end{eqnarray*}$ gibt es genau ein b > 0 mit $\begin{eqnarray*} a^b = b^a, \end{eqnarray*}$ nämlich b = a.

09.09.2007, 01:58

tigerbine

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Wo ist da bei Fall1 der Beweis? Lesen2

Lesen2

09.09.2007, 02:00

WebFritzi

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Naja, wie gesagt. Ich hab erstmal nur ein paar Fälle durchprobiert. Schau's mir aber nochmal analytisch an.

09.09.2007, 02:00

Soliton

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Zitat:

Original von Biscodanke für die antwort, aber soweit ich mich erinnern kann, lässt sich diese aufgabe sehr wohl lösen, weiß leider nur nicht mehr wie verwirrt

verwirrt

Mit "lösen" meinte ich: systematisch, algebraisch, berechnen, konstruktiv. Oder so. smile

smile

09.09.2007, 02:02

Bisco

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@ Dual Space
vielen dank für deine erklärung, jedoch muss ich gestehen, dass ich dir nicht ganz folgen kann... ich weiß leider nicht was fixpunkte sind und folglich auch nicht wie man sie bestimmt... Tränen

Tränen

@Abakus
danke, habe es mal hier im forum versucht und auch das google- und wikipedia-orakel befragt, jedoch sehe ich meine frage immer noch nicht wirklich beantwortet... das einzige, was ich in dieser richtung gefunden habe ist dieser beitrag: x^y = y^x nach x auflösen?
demnach gilt:
$\begin{eqnarray*} x^y=y^x \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt[x]{x} = \sqrt[y]{y} \end{eqnarray*}$
und die lösung außer x=y sind alle y für die gilt
$\begin{eqnarray*} 1<\sqrt[y]{y}<e \end{eqnarray*}$

ist das richtig so? gilt also immer für alle zahlen $\begin{eqnarray*} \sqrt[y]{y} \end{eqnarray*}$ die zwischen 1 und e liegen, dass x^y = y^x ist? muss x dann auch im bereich $\begin{eqnarray*} 1<\sqrt[x]{x}<e \end{eqnarray*}$ sein?

irgendwie blicke ich da nicht so wirklich durch....

@WebFritzi
also stimmt das nicht mit e.....? verwirrt

verwirrt

09.09.2007, 02:16

WebFritzi

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@Bisco: Das e spielt trotzdem eine Rolle. Schau in meinen Beitrag.

Mal ein Beweis für die Existenz:

Setze $\begin{eqnarray*} f(x) := x^a - a^x. \end{eqnarray*}$ Offenbar gelten $\begin{eqnarray*} f(a) = 0 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} f'(x) = ax^{a-1} - \ln(a)a^x, \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} f'(a) = a\cdot a^{a-1} - \ln(a)a^a = a^a(1-\ln(a)). \end{eqnarray*}$

1. Fall ( $\begin{eqnarray*} a > e \end{eqnarray*}$ ): Wir haben $\begin{eqnarray*} \ln(a) > 1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} f'(a) < 0, \end{eqnarray*}$ woraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} f(x) > 0 \end{eqnarray*}$ in einer linksseitigen Umgebung von a. Wegen $\begin{eqnarray*} f(1) = 1-a < 1-e < 0 \end{eqnarray*}$ muss es also ein $\begin{eqnarray*} b\in (1,a) \end{eqnarray*}$ geben mit $\begin{eqnarray*} f(b) = 0 \end{eqnarray*}$ .

2. Fall ( $\begin{eqnarray*} a < e \end{eqnarray*}$ ): Hier ist $\begin{eqnarray*} f'(a) > 0. \end{eqnarray*}$ Da $\begin{eqnarray*} a^n > n^a \end{eqnarray*}$ für große $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N}, \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(N) < 0 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} N > a \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt aber, dass es $\begin{eqnarray*} b\in (a,N) \end{eqnarray*}$ geben muss mit $\begin{eqnarray*} f(b) = 0. \end{eqnarray*}$

----------------------------------------------

Es bleibt jetzt natürlich noch die Eindeutigkeit und die Relation

$\begin{eqnarray*} (a-e)(b-e) < 0 \end{eqnarray*}$

zu beweisen.

09.09.2007, 05:11

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} a^x = x^a \Longleftrightarrow \frac{a}{\ln a}\ln x - x = 0. \end{eqnarray*}$

Wir definieren also

$\begin{eqnarray*} f(x) := \frac{a}{\ln a}\ln x - x, \,x > 1. \end{eqnarray*}$

und führen eine nette kleine Kurvendiskussion. Nach obigem ist schonmal klar, dass f mindestens zwei Nullstellen hat. Es soll hier jetzt gezeigt werden, dass f genau zwei Nullstellen hat. Es ist

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{a}{\ln a}\cdot\frac{1}{x}-1. \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 0\Longleftrightarrow x = \frac{a}{\ln a}. \end{eqnarray*}$

Wegen

$\begin{eqnarray*} f''(x) = -\frac{a}{\ln a}\cdot\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

und demnach

$\begin{eqnarray*} f''(\frac{a}{\ln a}) = -\frac{\ln a}{a} < 0 \end{eqnarray*}$ (es ist ja a > 1)

hat f in $\begin{eqnarray*} x = \frac{a}{\ln a} \end{eqnarray*}$ sein einziges Extremum, und zwar ein Maximum. Dieses ist folglich ein globales Maximum.
Hätte f noch andere Nullstellen außer a und b, dann müsste es f mehr als ein Extremum besitzen, was ja abernicht der Fall ist. Also hat f genau zwei Nullstellen.

Nebenbei haben wir gleich noch die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\ln x} > e \;\text{ für }\; x\in (1,\infty)\setminus\{e\} \end{eqnarray*}$

mitbewiesen. Denn das Extremum von f liegt bei $\begin{eqnarray*} \frac{a}{\ln a} \end{eqnarray*}$ , und wegen der zwei Nullstellen von f gilt

$\begin{eqnarray*} 0 < f\left(\frac{a}{\ln a}\right) = \frac{a}{\ln a}\left[ \ln\left(\frac{a}{\ln a}\right) - 1\right]. \end{eqnarray*}$

Also gilt

$\begin{eqnarray*} \ln\left(\frac{a}{\ln a}\right) - 1 > 0 \Longleftrightarrow \ln\left(\frac{a}{\ln a}\right) > 1 \Longleftrightarrow \frac{a}{\ln a} > e. \end{eqnarray*}$

EDIT: Die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\ln x} > e \;\text{ für }\; x\in (1,\infty)\setminus\{e\} \end{eqnarray*}$

hätte man auch mit einer einfachen Kurvendiskussion von $\begin{eqnarray*} x\mapsto \frac{x}{\ln x} - e \end{eqnarray*}$ erhalten können und hätte sich somit meinen letzten Beitrag sparen können.

09.09.2007, 12:03

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bisco
@Abakus
danke, habe es mal hier im forum versucht und auch das google- und wikipedia-orakel befragt, jedoch sehe ich meine frage immer noch nicht wirklich beantwortet... das einzige, was ich in dieser richtung gefunden habe ist dieser beitrag: x^y = y^x nach x auflösen?
demnach gilt:
$\begin{eqnarray*} x^y=y^x \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt[x]{x} = \sqrt[y]{y} \end{eqnarray*}$
und die lösung außer x=y sind alle y für die gilt
$\begin{eqnarray*} 1<\sqrt[y]{y}<e \end{eqnarray*}$

ist das richtig so? gilt also immer für alle zahlen $\begin{eqnarray*} \sqrt[y]{y} \end{eqnarray*}$ die zwischen 1 und e liegen, dass x^y = y^x ist? muss x dann auch im bereich $\begin{eqnarray*} 1<\sqrt[x]{x}<e \end{eqnarray*}$ sein?

irgendwie blicke ich da nicht so wirklich durch....

Schau auf das Poster (s. obiger Link), du hast einfach:

$\begin{eqnarray*} x^y = y^x \Leftrightarrow y = -\frac{x}{\ln x} \cdot W(- \frac{\ln x}{x}) \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist einfach die Umkehrfunktion zu $\begin{eqnarray*} x \cdot e^x \end{eqnarray*}$ . Mehr dazu findest du hier: Lambertsche-W-Funktion.

Grüße Abakus smile

smile

09.09.2007, 12:50

Airblader

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Edit: Alles zurückgenommen. Von ganzzahlig war nie die Rede Big Laugh

Big Laugh

Für mich ist WebFritzis Beweis wasserdicht.

09.09.2007, 13:21

WebFritzi

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Ich hab noch was vergessen:

$\begin{eqnarray*} f(e) = \frac{a}{\ln a} - e > 0 \end{eqnarray*}$ (Beweis zu dieser Ungleichung siehe oben).

Also folgt auch die schon behauptete Relation

$\begin{eqnarray*} (a-e)(b-e) < 0. \end{eqnarray*}$

10.09.2007, 03:26

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Airblader
Für mich ist WebFritzis Beweis wasserdicht.

Ist er auch. Er ist nur ein wenig verwirrend, d.h., der rote Faden fehlt etwas. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.09.2007, 03:40

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

_____________, brauchst du noch eine Nadel?

Habt ihr denn angegeben, wie man zu gegebenem a das passende b findet? Steht das was in deinem Beweis (hab ihn nicht gelesen) oder muss man dafür dieses Lambert-W (kenne ich [noch] nicht) nehmen?

10.09.2007, 04:29

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, der Beweis ist ein (doch recht einfacher) Existenzbeweis. Also nicht konstruktiv.

Die Menge

$\begin{eqnarray*} \{(x,y)\in (1,\infty)^2 : x^y = y^x\} \end{eqnarray*}$

dürfte in etwa so aussehen:

(OK, die grüne Kurve müsste eigentlich zu der roten symmetrisch sein. Wichtig ist, dass die Kurven sich in (e,e) schneiden!)

10.09.2007, 04:39

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Na da hat aber die Rundung brutal zugeschlagen. Ich sage mal nur $\begin{eqnarray*} 4^2 = 2^4 \end{eqnarray*}$ Big Laugh

Big Laugh

Woher kommt die angenäherte Konstante? Daher?

Zitat:

Abakus

$\begin{eqnarray*} x^y = y^x \Leftrightarrow y = -\frac{x}{\ln x} \cdot W(- \frac{\ln x}{x}) \end{eqnarray*}$

Ist diese Funktion W in Programmen als Standard (sowie die Wurzel) enthalten?

10.09.2007, 11:35

AD

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Zitat:

Original von tigerbine
Ist diese Funktion W in Programmen als Standard (sowie die Wurzel) enthalten?

Kommt drauf an, in welchen Programmen - z.B. in gnuplot schon, wenn auch nur zum Teil:

Leider schafft gnuplot nur den einen Zweig von LambertW, deswegen stimmt der vordere Zweig für x<e nicht mit dem überein, was ihr dort gern sehen würdet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.09.2007, 12:13

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi
Ne, der Beweis ist ein (doch recht einfacher) Existenzbeweis. Also nicht konstruktiv.

Die Menge

$\begin{eqnarray*} \{(x,y)\in (1,\infty)^2 : x^y = y^x\} \end{eqnarray*}$

dürfte in etwa so aussehen:

(OK, die grüne Kurve müsste eigentlich zu der roten symmetrisch sein. Wichtig ist, dass die Kurven sich in (e,e) schneiden!)

Naja das ist schon eine sehr großzügige Näherung, so siehts wirklich aus:

Wie Arthur schon sagte, Gnuplot hat ein Problem mit $\begin{eqnarray*} \rm{W}_{-1}(x) \end{eqnarray*}$ , darum gilt zum Lesen dieses Plots gleiches wie in diesem Beitrag

10.09.2007, 13:02

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lazarus
Naja das ist schon eine sehr großzügige Näherung

Das war mir schon klar. Ich schrieb ja auch: "in etwa". Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.09.2007, 13:36

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier mal grob, wie man auf die Lösung mit der W-Funktion kommt:

W ist die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} x\mapsto xe^x. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^x = x^y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow y^x x^{-y} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow yx^{-\frac{y}{x}} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow ye^{-\frac{y\ln x}{x}} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow -\frac{y\ln x}{x}\cdot e^{-\frac{y\ln x}{x}} = -\frac{\ln x}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow -\frac{y\ln x}{x} = {\rm W}\left(-\frac{\ln x}{x}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow y = -\frac{x}{\ln x}\cdot {\rm W}\left(-\frac{\ln x}{x}\right). \end{eqnarray*}$

Bei den Äquivalenzpfeilen muss man natürlich etwas vorsichtig sein mit den Definitionsintervallen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.09.2007, 13:46

Lazarus

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Ziemlich mutig von dir da überall Äquivalenzpfeile zu setzten, denn unterwegs verlierst du ja einiges Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.09.2007, 13:47

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab's gerade editiert... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es sollte das ganze nur grob (wie oben auch geschrieben) demonstrieren.

10.09.2007, 13:49

AD

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Um es konkret zu machen:

In der vorletzen Zeile ist die Äquivalenz falsch, da darf höchstens

$\begin{eqnarray*} \Longleftarrow -\frac{y\ln x}{x} = {\rm W}\left(-\frac{\ln x}{x}\right) \end{eqnarray*}$

stehen.

10.09.2007, 13:59

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber

$\begin{eqnarray*} -\frac{y\ln x}{x}\cdot e^{-\frac{y\ln x}{x}} = -\frac{\ln x}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow {\rm W}\left(-\frac{y\ln x}{x}\cdot e^{-\frac{y\ln x}{x}}\right) = {\rm W}\left(-\frac{\ln x}{x}\right) \end{eqnarray*}$

stimmt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.09.2007, 14:02

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Bilder und die Antworten. Den Lambert muss ich mal näher kennen lernen Wink

Wink

10.09.2007, 14:16

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

@tigerbine

Nicht nur du. Aber damit es nicht wieder heißt, ich mache nur versteckte Andeutungen:

Für $\begin{eqnarray*} z\geq -1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} W(ze^z)=z \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} z<-1 \end{eqnarray*}$ hingegen nicht. Insbesondere gilt dann die Gleichheit

$\begin{eqnarray*} {\rm W}\left(-\frac{y\ln x}{x}\cdot e^{-\frac{y\ln x}{x}}\right) = -\frac{y\ln x}{x} \end{eqnarray*}$

auch nicht für alle positiven $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ .

10.09.2007, 14:51

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
@tigerbine

Nicht nur du.

Schade... Deine Sticheleien gehen mir auf den Wecker. Kannst du es nicht einfach lassen? Ach hey, in Zukunft ignoriere ich sowas einfach. Ich weiß es ja besser. Tanzen

Tanzen

Zitat:

Original von Arthur Dent
Für $\begin{eqnarray*} z\geq -1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} W(ze^z)=z \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} z<-1 \end{eqnarray*}$ hingegen nicht.

Du hast es erfasst. 1000 Punkte.

10.09.2007, 15:02

Dual Space

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Zitat:

Original von WebFritzi
Schade... Deine Sticheleien gehen mir auf den Wecker. Kannst du es nicht einfach lassen? Ach hey, in Zukunft ignoriere ich sowas einfach. Ich weiß es ja besser.

Ja dann mach das doch auch. Warum fühlst du dich überhaupt angesprochen?

PS. Die Frage war rethorisch und bedarf keiner Antwort.

10.09.2007, 15:03

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

@WebFritzi

Mäßige deinen Ton.

@Moderatoren

Ich möchte gern mal wissen, wo ich hier unhöflich geworden bin. Oder darf man hier Fehler nicht mehr offen ansprechen? verwirrt

verwirrt

10.09.2007, 15:03

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich möchte gern mal wissen, wo ich hier unhöflich geworden bin.

Siehe meine obige Antwort.

10.09.2007, 15:05

AD

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Hat sich wohl überkreuzt. Danke für die Auskunft.

10.09.2007, 15:06

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dual Space

Zitat:

Original von WebFritzi
Schade... Deine Sticheleien gehen mir auf den Wecker. Kannst du es nicht einfach lassen? Ach hey, in Zukunft ignoriere ich sowas einfach. Ich weiß es ja besser.

Ja dann mach das doch auch. Warum fühlst du dich überhaupt angesprochen?

Weil ich angespochen war. Ist dir das nicht klar, oder hast du Arthurs "Beitrag" auch als Stichelei aufgefasst, auf die ich aber besser nicht reagieren sollte?

10.09.2007, 15:09

Dual Space

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Zitat:

Original von WebFritzi
Weil ich angespochen war.

Ich kann auch bei mehrmaligem Lesen deinen Namen nicht entdecken. Auch ich habe zu Beginn dieses Threads eine falsche Vermutung geäußert. Vielleicht meinte Arthur auch mich? Und springe ich deshalb gleich im Kreis?

Zitat:

Ist dir das nicht klar, oder hast du Arthurs "Beitrag" auch als Stichelei aufgefasst, auf die ich aber besser nicht reagieren sollte?

Du klingst paranoid.

10.09.2007, 15:17

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Und DU klingst etwas naiv. Entschuldige bitte, aber das ist mein Eindruck. Lies dir seinen Beitrag nochmal genau durch (und vielleicht ein paar andere Beiträge von mir und anderen davor). Es ist sonnenklar, dass ich gemeint war.

10.09.2007, 15:21

Dual Space

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Zitat:

Original von WebFritzi
Es ist sonnenklar, dass ich gemeint war.

Klar, und wenn Arthur morgen früh sein Frühstücksei köpft ist er zum Voodo konvertiert und hatte dabei auch nur dich im Sinn.

Ehrlich .... komm endlich runter von deinem Opfertripp.

10.09.2007, 15:23

Tobias

Auf diesen Beitrag antworten »

Chuck Norris bekommt 20% auf alles - auch auf Tiernahrung!

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